Question

高中数学 竞赛题 证明 三角函数

已知α,β,γ是锐角,且sin^2α sin^2β sin^2γ=1,求证:
π/2＜α+β+γ＜0.75π （π是pai)

Answer 1

α、β、γ是锐角，1=sin^2α+sin^2β+sin^2γ=1-cos(α+β)cos(α-β)+sin^2γ，得cos(α+β)cos(α-β)=sin^2γ，所以cos(α+β)＞0，α+β＜π/2，同理β+γ＜π/2，α+γ＜π/2，于是α+β+γ＜0.75π ①。假设α+β+γ≤π/2，则cos(α+β)cos(α-β)=sin^2γ≤sin^2(π/2-α-β)=cos^2(α+β)，有cos(α-β)≤cos(α+β)，sin(α)sin(β)≤0，矛盾，所以π/2＜α+β+γ ②，由①、②可知命题得证。