Question

一道数学向量题，请数学高手解答。

1，在正四面体OABC中，M为OA中点，过O作平面ABC的垂线，垂足为H，OH与平面BCM交于I，将向量OI用响亮OA，OB，OC表示出来.

必须给出特别详细的步骤，我可以追加很高很高的分，你可以提出给分意见。

Answer 1

解：向量太难表示了，我用小写字母表示向量吧，比如向量OI ,用oi表示
因为 oh = oa+ah = ob+bh = oc+ch
所以 3oh = oa+ob+oc+(ah+bh+ch) 而H是△ABC的中心，所以(ah+bh+ch)=0
所以 oh = 1/3 *(oa+ob+oc)
下面只要找到OI与OH的关系就可以了
△OAC是等边三角形，M是OA中点，所以有CM⊥OA ，同理BM⊥OA
所以OA⊥平面BCM ，又因为MI是平面BCM的一条直线，故 OA⊥MI
在Rt△OMI中，OL²=OM²+MI²
在Rt△AMI中，AL²=AM²+MI² ，而OM=AM ,所以OI=AI
在Rt△AHI中，AI²=AH²+IH²=OI² ，所以有 OI²=AH²+IH²=AH²+(OH-0I)² ......(1)
因为H是△ABC的中心，很容易求出，AH²=1/3 *AB² （过H作AB的垂线，垂足为J，则HJ=1/2 *AH ,再用勾股定理得到上式）
而在Rt△OHA中，OH²=OA²-AH²=AB²-1/3AB²=2/3AB² ，即AB²=3/2 *OH²
所以 AH²=1/2 OH²
代入（1)式，得到 OI²= 1/2 OH²+(OH-0I)² ，整理得：OI=3/4 OH
所以 oi = 3/4 oh = 3/4 * 1/3 (oa+ob+oc) = 1/4 (oa+ob+oc)

够详细了吧，有什么不懂的地方就发消息给我了