Question

利用极坐标计算下列二重积分

(3) ∫∫（D为积分区域） √x^2+y^2 d〥, 其中积分区域D={(x,y)| x^2+y^2≤2y, x≥0};

拜托只要把开头的步骤写明白就可以了

Answer 1

x=rcosa,y=rsina,下面只需求出角度a和半径r的范围，根据积分区域D，把x，y带入那个不等式，得到：r*r≤2*rsina,两边约去r，得到r≤2sina,注意到x大于0这个条件，它约束了角度a的范围，所以新的积分区域：-PI/2≤a≤PI/2,0≤r≤2sina，这样就能把原来的二重积分化为累次积分
原积分=∫da∫rdr,先计算∫rdr，下限为0，上限2sina，得2sina的平方，然后计算∫2sin^2ada,下限是-PI/2,上限是PI/2

Answer 2

用圆坐标变换,
设x=rcosθ,y=rsinθ
则r^2≤2rsinθ,r≤sinθ
代入积分算得
I=
∫(0~2π)dθ∫(0~sinθ)r^2dr
再计算即可.

Answer 3

√x^2什么意思？
是不是x的平方加上y的平方再开根号？

x=ρcosα,y=ρsinα
d〥=dxdy=ρdρdα
因为x>=0所以α取值为[0,π/2]
p=2sinα(这个只要一画图就明白了)
所以∫∫（D为积分区域） √x^2+y^2 d〥就等于
∫[0,π/2]d∫α[0,2sinα] (√ρ^2)*ρdρ
明白了吗？