Question

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，

在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，O是边AC上的一个动点，以点O为圆心作半圆，与边AB相切于点D，交线段OC于点E，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F。
（1） 如图，求证：△ADE∽△AEP；
（2） 设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3） 当BF＝1时，求线段AP的长.
本题的图在 http://user.qzone.qq.com/396315784/photo/c39917e3-1d08-47f5-9075-8eaca39ba3cc/M55jMPnH5U*QpGviJc*rdtNuLMEHzFkAAA!!

Answer 1

（1）因为∠PED=90，所以∠EPD+∠PDE=90°
因为PD切圆心O于D，所以∠ADG=∠GED
又因为∠EDG=90°，∠ADG+∠PDE=90°
所以∠ADG=∠EPD=∠GED，，又因为∠A=∠A
△ADE∽△AEP；
（2）因为OA=X，OD平行CB，△ADO∽△ABC
AD=4/3X，AE=8/3X，因为△ADE∽△AEP，AE*AE=AD*AP
8/3X*8/3X=4/3X*Y，所以Y=16/3X，Y∠4，16/3X∠4，X∠3/4。
（3）Y=AP=16/3X，BP=4-AP=4-16/3X，△PBF∽△PED，
BF/BP=ED/EP，又因为△ADE∽△AEP，ED/EP=AE/AP，
所以BF/BP=AE/AP，1/4-15/3X=8/3X/16/3X，X=3/8，AP=16/3X=2

Answer 2

∠PED=90，所以∠EPD+∠PDE=90°
PD切圆心O于D，∠ADG=∠GED
∠EDG=90°，∠ADG+∠PDE=90°
所以∠ADG=∠EPD=∠GED，，又因为∠A=∠A
△ADE∽△AEP；
OA=X，OD平行CB，△ADO∽△ABC
AD=4/3X，AE=8/3X，因为△ADE∽△AEP，AE*AE=AD*AP
8/3X*8/3X=4/3X*Y，所以Y=16/3X，Y∠4，16/3X∠4，X∠3/4。
Y=AP=16/3X，BP=4-AP=4-16/3X，△PBF∽△PED，
BF/BP=ED/EP，又因为△ADE∽△AEP，ED/EP=AE/AP，
所以BF/BP=AE/AP，1/4-15/3X=8/3X/16/3X，X=3/8，AP=16/3X=2

Answer 3

角ABC等于90度,ABC(逆时针排列,图就不画了).
BC=√(AB²+BC²)=√(4²+3²)=5,
以点O为圆心作半圆，与边AB相切与点D，交线段OC于点E，作EP垂直ED，交射线AB于点P，交射线BC于点F,

情况1,
半圆O的半径R较小时,EP交AB于点P，P在AB之间;交CB延长线于点F,F在B的左侧:
半圆O与边AB相切与点D,∠ADO=90度,
∠ODE=∠OED,[因为DO=EO=R],
∠ODE+∠EDP=∠OED+∠CEF=90度
所以∠EDP=∠CEF,
直角△PBF∽△PED,(AAA),
所以∠BFP=∠EDP,
故∠BFP=∠CEF,
因此CF=CE,CE=CF=CB+BF=3+1=4,
作EG垂直BC,交BC于G,
直角△EGC∽△ABC,(AAA),
EG:AB=EC:AC,
EG=4*4/5=16/5,
同理,CG=12/5,
FG=FB+BG=FB+BC-CG=1+3-12/5=8/5,
直角△PBF∽△EGF,(AAA),
PB:EG=FB:FG,
PB=(16/5)/(8/5)=2,
AP=AB-PB=4-2=2;

情况2,
半圆O的半径R较大时,EP交AB延长线于点P，P在B下方;交BC于点F,F在BC之间:
与情况1类似过程,
可以得
CF=CE,CE=CF=BC-BF=3-1=2
EG=8/5,
CG=6/5,
FG=FC-CG=2-6/5=4/5,
PB:EG=FB:FG,
PB=(8/5)/(4/5)=2,
AP=AB+PB=4+2=6;