Question

函数极限和它绝对值极限的关系

总是看到这样的说法，lim|f（x）|的极限不等于0，所以limf(x)的极限也不会等于零。比如在推导幂级数的收敛半径的过程中，对于第一种情况，在证明中有这样的说法：一般项|AnX^n|不能趋向于零，所以AnX^n也不能趋向于零。
想想这样的说法是对的，但证明起来，我不知道话该怎么说，希望高人给与严格证明！另外是不是这种判断方法只对趋于零的情况正确？再有是否可以得出若|f(x)|趋于零，那么f(x)也趋于零的结论？若|f(x)|趋于其它数值呢？谢谢你们！

Answer 1

如果limf（x）=0，根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k，0-e<f（x）<0+e。

于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k，|f（x）|<e，即0-e<|f（x）|<0+e，由定义，lim|f（x）|=0，因此，limf（x）=0==>lim|f（x）|=0，逆反命题为lim|f（x）|不等于0，则limf（x）不等于0，原命题获证。

反过来，如果lim|f（x）|=0，则根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k，0-e<|f（x）|<0+e，即|f（x）|<e。于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k，-e<f（x）<e。因此limf（x）=0。所以，limf（x）=0是lim|f（x）|=0的充要条件。

含义

ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N。

又因为ε是任意小的正数，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替ε。同时，正由于ε是任意小的正数，我们可以限定ε小于一个某一个确定的正数。

Answer 2

关系如下：

如果lim f(x)=0，根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<f(x)<0+e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,|f(x)|<e,即0-e<|f(x)|<0+e,由定义，lim |f(x)|=0. 因此，limf(x)=0 ==> lim|f(x)|=0, 逆反命题为lim|f(x)|不等于0，则limf(x)不等于0，原命题获证。

反过来，如果lim |f(x)|=0，则根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<|f(x)|<0+e，即|f(x)|<e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,-e<f(x)<e.因此limf(x)=0.所以，limf(x)=0是lim|f(x)|=0的充要条件。

如果是其他数值则不一定。比如lim|f(x)|=3,则limf(x)可能是3或-3,甚至可能不存在（比如数列-3,3,-3,3,-3,3,....)。

函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。

Answer 3

如果lim f(x)=0，根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<f(x)<0+e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,|f(x)|<e,即0-e<|f(x)|<0+e,由定义，lim |f(x)|=0. 因此，limf(x)=0 ==> lim|f(x)|=0, 逆反命题为lim|f(x)|不等于0，则limf(x)不等于0，原命题获证。
反过来，如果lim |f(x)|=0，则根据极限定义，对任何e>0，存在k使得对任意x>k,0-e<|f(x)|<0+e，即|f(x)|<e.于是对任何e>0存在实数k使得对任意x>k,-e<f(x)<e.因此limf(x)=0.所以，limf(x)=0是lim|f(x)|=0的充要条件。
如果是其他数值则不一定。比如lim|f(x)|=3,则limf(x)可能是3或-3,甚至可能不存在（比如数列-3,3,-3,3,-3,3,....)