Question

请教，一道高中数学题

原题：已知x^2+ax+b+(a/x)+(1/x^2)=0有且仅有两个不等实根，求a^2+b^2的最小值。
原来是一道选择题，答案是4/5，但是我算出来是a^2+b^2>4/5，无法取等，只能说a^2+b^2的极小值是4/5。
不知我算得对不对，希望大家帮帮忙。
（请写清计算步骤）
题没有错。
计算过程中有讨论的。

Answer 1

我算的情况和你一样，应该是题目的不严谨：
原方程可化为：
（x+1/x)^2-2+a(x+1/x)+b=0
令t=x+1/x 即t^2+at+b-2=0 ……*
通过研究双勾函数y=x+1/x的图像知，欲使原方程有且只有两个不等实根
有且只有两种情况：
1.方程*的两根是0，-2
2.方程*的一根属于（-2，2）一个属于（-∞，-2）或（2，+∞）
1等价于a=0，b=-2，a^2+b^2=4
令f（t）=t^2+at+b-2=0 ，利用函数图像
2等价于f(-2)f(2)<0
即a^2>(2+b)^2/4
所以a^2+b^2>(2+b)^2/4+b^2=（5b^2+4b+4）/4
当b=-2/5时右边达最小值4/5
不难验证a^2+b^2可以无限趋近于4/5而不能达到

Answer 2

我是小学的 ，不会。呵呵

Answer 3

你确定是x^2+ax+b而不是x^2+ax-b？

这道题有点争议，虽然解题的思路较为清晰......

Answer 4

x^2+ax+b+(a/x)+(1/x^2)=0
x^2+ax+b+(a/x)+(1/x^2)+2-2=0
(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0
有且仅有两个解则
a^2-4(b-2)=0 b>=2
且x+1/x>=2，则a<=-4
a^2+b^2=b^2+4b-8=(b+2)^2-12
得最小值为a=-4,b=6,a^2+b^2=52
x