Question

50分 请教高手一道初一奥数题！

n是自然数。是证明：
（1）3|n（n+1)(n+2)；
（2）三个连续自然数的立方和是9的倍数。

我读不懂题目，请详细讲解啊，特别是那个3后面的竖线。
答得详细再+20分！
上面没写好，题目是这样的：

n是自然数。试证明：
（1）3| n(n+1)(n+2)；
（2）三个连续自然数的立方和是9的倍数。

Answer 1

第一题：3能整除n(n+1)(n+2)
因为3个连续的数（n、n+1、n+2）中必然有一个数是3的倍数，因此三个数的乘积是3的倍数，因此3能整除n(n+1)(n+2)

第二题：三个连续自然数的立方和是9的倍数
三个连续的自然数对3取余数分别为0、1、2（顺序不一定），则三个数的立方对3取余分别为0^3、1^3、2^3，也就是0、1、8，也就是0、1、2，则三个立方数相加对3取余为0+1+2=3，也就是0。因此三个连续自然数的立方和是9的倍数。

Answer 2

2题目:1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2

推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

你只需要简单的验证一下就可以了!

1题目:连续三个自然数必有一个是3的倍数，所以相乘必然也是三的倍数 ,故后边的数n（n+1)(n+2)能被前边的数3整除!

Answer 3

初一数学题没学这符号

Answer 4

一．意思是n（n+1)(n+2) 能被3整除
（1） 当n=3k (k为整数) n能被3整除
（2） 当n=3k+1 , n+2能被3整除
（3） 当n=3k+2 , n+1能被3整除
所以， 3| n(n+1)(n+2)；

二．（n-1）3次方 + n3次方 + （n+1）3次方
=3n（n*n +2）
当n=3k (k为整数) n 能被3整除
当n=3k+1 , n*n+2能被3整除
当n=3k+2 , n*n+2能被3整除
所以 三个连续自然数的立方和是9的倍数。

Answer 5

2题目:1^3+2^3+.....+n^3=n^2(n+1)^2/4=[n(n+1)/2]^2

推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n

4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

题目:连续三个自然数必有一个是3的倍数，所以相乘必然也是三的倍数 ,故后边的数n（n+1)(n+2)能被前边的数3整除!
一．意思是n（n+1)(n+2) 能被3整除
（1） 当n=3k (k为整数) n能被3整除
（2） 当n=3k+1 , n+2能被3整除
（3） 当n=3k+2 , n+1能被3整除
所以， 3| n(n+1)(n+2)；

二．（n-1）3次方 + n3次方 + （n+1）3次方
=3n（n*n +2）
当n=3k (k为整数) n 能被3整除
当n=3k+1 , n*n+2能被3整除
当n=3k+2 , n*n+2能被3整除
所以 三个连续自然数的立方和是9的倍数。

Answer 6

1.
3能整除n(n+1)(n+2) ,因为3个连续的数（n、n+1、n+2）中必然有一个数是3的倍数，因此三个数的乘积是3的倍数，因此3能整除n(n+1)(n+2)
2.
三个连续自然数的立方和是9的倍数
三个连续的自然数对3取余数分别为0、1、2（顺序不一定），则三个数的立方对3取余分别为0^3、1^3、2^3，也就是0、1、8，也就是0、1、2，则三个立方数相加对3取余为0+1+2=3，也就是0。因此三个连续自然数的立方和是9的倍数。推导过程：
(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1
各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2
1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2