求二次函数压轴题试题
求二次函数压轴题试题我是09年深圳中考考生，数学老师老是说历届深圳中考最后一道题很难，说最后一题是关于二次函数与圆、三角形等等结合起来的，第一问简单，第二问较难，第三问更...
求二次函数压轴题试题
我是09年深圳中考考生，数学老师老是说历届深圳中考最后一道题很难，说最后一题是关于二次函数与圆、三角形等等结合起来的，第一问简单，第二问较难，第三问更难，哪个好心人能帮我找这些类型的题
要求：图要能看得清，最好是Word 文档（docx），不要直接在这里复制过来（因为没图）
先在这里感谢大家
我的QQ：1115317958
邮箱：vinson-q@live.cn
越多越好，或者推荐本关于这方面的书也可以 展开
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1已知函数y=-ax2+bx+c(a≠0)图象过点P（-1，2）和Q（2，4）
（1）证明：无论a为任何实数时，抛物线的图象与X轴的交点在原点两侧；若它的图象与X轴有两个交点A、B（A在B左）与y轴交于点C，且tan∠CBO-tan∠CAO=1,求抛物线解析式；
（2）点M在（1）中所求的函数图象上移动，是否存在点M，使AM⊥BM？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由。
2抛物线y＝x平方-2x-m（m>0）与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点C'
（1）.如果点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，以点C,C',P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P和点Q的坐标（可用含m的代数式表示）
（2）.在（1）的条件下，求出这个平行四边形的周长。
3、已知二次函数y=-x2+8x-12图象交x轴于A、B两点，一次函数图象过A、C（3，3）两点 .
（1）求:一次函数的解析式.
（2）当X为何值时，一次函数值小于二次函数值.
（3）能否在二次函数图象的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小？请说明理由.
4.在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴与y轴于点A、B，且OA＝OB＝b ，又以点O为圆心，a(a＜b)为半径画圆分别交直线AB于点C、D，又作CF⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为点F,E.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求矩形OFCE的周长(用含有a,b的代数式表示)；
（3）设点P为直线AB上的任意一个动点, 又过点P分别作PF⊥x轴, PE⊥y轴,垂足分别为点F,E. 试探究矩形OFPE的周长是否为定值?并说明理由.
5.在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴与y轴于点A、B，且OA＝6，OB＝8，又以点O为圆心，5cm长为半径画圆交直线AB于点C、 D，交x轴的负半轴于点M.
（1）求直线AB的解析式； （2）求点C的坐标；
（3）求经过点A，C，M的抛物线的解析式；
（4）在（3）的抛物线上是否存在一点P,使得△PAM的面积为11？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
这儿有一些方法，要掌握的：
一、理解二次函数的内涵及本质 .
二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 .
二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 .
1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 .
2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” .
y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 .
总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 .
3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；
4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 .
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 .
1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 .
2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 .
3 、利用顶点画草图 . 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 .
四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 .
一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 . 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 .
从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 .
五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 .
用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 .
二次函数y=ax2
学习要求:
1．知道二次函数的意义．
2．会用描点法画出函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念．
重点难点解析
1.本节重点是二次函数的概念和二次函数y＝ax2的图象与性质；难点是根据图象概括二次函数y＝ax2的性质.
2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数都是二次函数.解析式中只能含有两
个变量x、y，且x的二次项的系数不能为0，自变量x的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中应使实际量有意义。如圆面积S与圆半径R的关系式S＝πR2中，半径R只能取非负数。
3.抛物线y＝ax2的形状是由a决定的。a的符号决定抛物线的开口方向，当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.
4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
本节命题主要是考查二次函数的概念，二次函数y＝ax2的图象与性质的应用。
核心知识
规则1
二次函数的概念:
一般地，如果是常数，那么，y叫做x的二次函数．
规则2
抛物线的有关概念:
图13-14
如图13-14，函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．抛物线y=x2是开口向上的,y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点．
规则3
抛物线y=ax2的性质:
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
规则4
1.二次函数的概念
(1)定义：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的的二次函数. (2)二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征是：等号左边是函数y，右边是自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中一次项系数b和常数项c可以是任意实数，而二次项系数a必须是非零实数，即a≠0.
2.二次函数y＝ax2的图像
图13-1
用描点法画出二次函数y＝x2的图像，如图13-1，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
3.二次函数y＝ax2的性质
函数
图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a＞0
向上
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
当x＝0时，y最小＝0.
y=ax2
a＜0
向下
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而减小；
x＜0时，y随x增大而增大.
当x＝0时，y最大＝0.
4.二次函数y＝ax2的图像的画法
用描点法画二次函数y＝ax2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.
二次函数y=ax2+bx+c
学习要求：
1．会用描点法画出二次函数的图象．
2．能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点、的位置．
*3．会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
重点难点
1.本节重点是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质的理解及灵活运用，难点是二次函数y＝ax2+bx+c的性质和通过配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。
2.学习本小节需要仔细观察归纳图象的特点以及不同图象之间的关系。把不同的图象联系起来，找出其共性。
一般地几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同.
任意抛物线y＝a(x-h)2+k可以由抛物线y＝ax2经过适当地平移得到，具体平移方法如下图所示：
注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不能死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便.
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y＝ax2的图象形状完全一样，它们的性质也有相似之处。当a＞0时，两条抛物线的开口都向上，并向上无限延伸，抛物线有最低点，y有最小值，当a＜0时，开口都向下，并向下无限延伸，抛物线有最高点，y有最大值.
3.画抛物线时一定要先确定开口方向和对称轴、顶点位置，再利用函数对称性列表，这样描点连线后得到的才是完整的，比较准确的图象。否则画出的图象，往往只是其中一部分。例如画y＝- (x+1)2-1的图象。
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-12
4.用配方法将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次项系数a。常犯的错误只提第一项，后面漏提。如y＝- x2+6x-21 写成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符号弄错，主要原因是没有掌握添括号的规则。
本节命题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质及其在实际生活中的运用。既有填空题、选择题，又有解答题，与方程、几何、一次函数的综合题常作为中考压轴题。
核心知识
规则1
抛物线 y=a(x-h)2+k 的性质:
一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2 形状相同，位置不同．抛物线 y=a(x-h)2+k 有如下特点：
(l) a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
(2) 对称轴是直线x＝h；
(3) 顶点坐标是(h，k)．
规则2
二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:
y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常数，a≠0）是二次函数，图象是抛物线．利用配方，可以把二次函数表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
规则3
1.二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和
x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
2.二次函数解析式的确定
确定二次函数解析式，一般仍用待定系数法.由于二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便；当已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个点的坐标(或横坐标x1,x2)时，选用两根式较为方便.
注意：当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时，最后一般都要化一般式.
3.二次函数y＝ax2+bx+c的图像
二次函数y＝ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
4.二次函数的性质
根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像可归纳其性质如下表：
函数
二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
图
像
a＞0
a＜0
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时，y随x的增大而减小；当x＞- 时，y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点，当x＝- 时，y有最小值，y最小值＝ .
(1) )抛物线开口向下，并向下无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时，y随x的增大而增大；当x＞- 时，y随x的增大而减小.
(4)抛物线有最高点，当x＝- 时，y有最大值，y最大值＝ .
5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.
②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .
6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
7.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的位置与a、b、c及Δ符号有密切的关系(见下表)：
项
目
字
母
字母的符号
图像的位置
a
a＞0
a＜0
开口向上 开口向下
b
b=0 ab＞0 ab＜0
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c
c=0 c＞0 c＜0
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
8.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
Δ＞0 抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝0 抛物线与x轴有1个交点；
Δ＜0 物线与x轴有0个交点(没有交点).
也可以到这个网站：http://www.26edu.com/soft/6852.htm
就这样了，祝你成功
（1）证明：无论a为任何实数时，抛物线的图象与X轴的交点在原点两侧；若它的图象与X轴有两个交点A、B（A在B左）与y轴交于点C，且tan∠CBO-tan∠CAO=1,求抛物线解析式；
（2）点M在（1）中所求的函数图象上移动，是否存在点M，使AM⊥BM？若存在，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由。
2抛物线y＝x平方-2x-m（m>0）与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为点C'
（1）.如果点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，以点C,C',P,Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P和点Q的坐标（可用含m的代数式表示）
（2）.在（1）的条件下，求出这个平行四边形的周长。
3、已知二次函数y=-x2+8x-12图象交x轴于A、B两点，一次函数图象过A、C（3，3）两点 .
（1）求:一次函数的解析式.
（2）当X为何值时，一次函数值小于二次函数值.
（3）能否在二次函数图象的对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小？请说明理由.
4.在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴与y轴于点A、B，且OA＝OB＝b ，又以点O为圆心，a(a＜b)为半径画圆分别交直线AB于点C、D，又作CF⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为点F,E.
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）求矩形OFCE的周长(用含有a,b的代数式表示)；
（3）设点P为直线AB上的任意一个动点, 又过点P分别作PF⊥x轴, PE⊥y轴,垂足分别为点F,E. 试探究矩形OFPE的周长是否为定值?并说明理由.
5.在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴与y轴于点A、B，且OA＝6，OB＝8，又以点O为圆心，5cm长为半径画圆交直线AB于点C、 D，交x轴的负半轴于点M.
（1）求直线AB的解析式； （2）求点C的坐标；
（3）求经过点A，C，M的抛物线的解析式；
（4）在（3）的抛物线上是否存在一点P,使得△PAM的面积为11？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由.
这儿有一些方法，要掌握的：
一、理解二次函数的内涵及本质 .
二次函数 y=ax2 ＋ bx ＋ c （ a ≠ 0 ， a 、 b 、 c 是常数）中含有两个变量 x 、 y ，我们只要先确定其中一个变量，就可利用解析式求出另一个变量，即得到一组解；而一组解就是一个点的坐标，实际上二次函数的图象就是由无数个这样的点构成的图形 .
二、熟悉几个特殊型二次函数的图象及性质 .
1 、通过描点，观察 y=ax2 、 y=ax2 ＋ k 、 y=a （ x ＋ h ） 2 图象的形状及位置，熟悉各自图象的基本特征，反之根据抛物线的特征能迅速确定它是哪一种解析式 .
2 、理解图象的平移口诀“加上减下，加左减右” .
y=ax2 → y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ k “加上减下”是针对 k 而言的，“加左减右”是针对 h 而言的 .
总之，如果两个二次函数的二次项系数相同，则它们的抛物线形状相同，由于顶点坐标不同，所以位置不同，而抛物线的平移实质上是顶点的平移，如果抛物线是一般形式，应先化为顶点式再平移 .
3 、通过描点画图、图象平移，理解并明确解析式的特征与图象的特征是完全相对应的，我们在解题时要做到胸中有图，看到函数就能在头脑中反映出它的图象的基本特征；
4 、在熟悉函数图象的基础上，通过观察、分析抛物线的特征，来理解二次函数的增减性、极值等性质；利用图象来判别二次函数的系数 a 、 b 、 c 、△以及由系数组成的代数式的符号等问题 .
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用 .
1 、要能准确灵活地求出“顶点” . 形如 y=a （ x ＋ h ） 2 ＋ K →顶点（－ h,k ），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点 .
2 、理解顶点、对称轴、函数最值三者的关系 . 若顶点为（－ h ， k ），则对称轴为 x= － h ， y 最大（小） =k ；反之，若对称轴为 x=m ， y 最值 =n ，则顶点为（ m ， n ）；理解它们之间的关系，在分析、解决问题时，可达到举一反三的效果 .
3 、利用顶点画草图 . 在大多数情况下，我们只需要画出草图能帮助我们分析、解决问题就行了，这时可根据抛物线顶点，结合开口方向，画出抛物线的大致图象 .
四、理解掌握抛物线与坐标轴交点的求法 .
一般地，点的坐标由横坐标和纵坐标组成，我们在求抛物线与坐标轴的交点时，可优先确定其中一个坐标，再利用解析式求出另一个坐标 . 如果方程无实数根，则说明抛物线与 x 轴无交点 .
从以上求交点的过程可以看出，求交点的实质就是解方程，而且与方程的根的判别式联系起来，利用根的判别式判定抛物线与 x 轴的交点个数 .
五、灵活应用待定系数法求二次函数的解析式 .
用待定系数法求二次函数的解析式是我们求解析式时最常规有效的方法，求解析式时往往可选择多种方法，如能综合利用二次函数的图象与性质，灵活应用数形结合的思想，不仅可以简化计算，而且对进一步理解二次函数的本质及数与形的关系大有裨益 .
二次函数y=ax2
学习要求:
1．知道二次函数的意义．
2．会用描点法画出函数y＝ax2的图象，知道抛物线的有关概念．
重点难点解析
1.本节重点是二次函数的概念和二次函数y＝ax2的图象与性质；难点是根据图象概括二次函数y＝ax2的性质.
2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数都是二次函数.解析式中只能含有两
个变量x、y，且x的二次项的系数不能为0，自变量x的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中应使实际量有意义。如圆面积S与圆半径R的关系式S＝πR2中，半径R只能取非负数。
3.抛物线y＝ax2的形状是由a决定的。a的符号决定抛物线的开口方向，当a＞0时，开口向上，抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上)，并向上无限延伸；当a＜0时，开口向下，抛物线在x轴下方(顶点在x轴上)，并向下无限延伸。｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大.
4.画抛物线y＝ax2时，应先列表，再描点，最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。
本节命题主要是考查二次函数的概念，二次函数y＝ax2的图象与性质的应用。
核心知识
规则1
二次函数的概念:
一般地，如果是常数，那么，y叫做x的二次函数．
规则2
抛物线的有关概念:
图13-14
如图13-14，函数y=x2的图象是一条关于y轴对称的曲线，这条曲线叫抛物线．实际上，二次函数的图象都是抛物线．抛物线y=x2是开口向上的,y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点．
规则3
抛物线y=ax2的性质:
一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下．
规则4
1.二次函数的概念
(1)定义：一般地，如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的的二次函数. (2)二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征是：等号左边是函数y，右边是自变量x的二次式，x的最高次数是2.其中一次项系数b和常数项c可以是任意实数，而二次项系数a必须是非零实数，即a≠0.
2.二次函数y＝ax2的图像
图13-1
用描点法画出二次函数y＝x2的图像，如图13-1，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y＝x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.
3.二次函数y＝ax2的性质
函数
图像
开口方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a＞0
向上
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
当x＝0时，y最小＝0.
y=ax2
a＜0
向下
(0,0)
Y轴
x＞0时，y随x增大而减小；
x＜0时，y随x增大而增大.
当x＝0时，y最大＝0.
4.二次函数y＝ax2的图像的画法
用描点法画二次函数y＝ax2的图像时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图像越准确.
二次函数y=ax2+bx+c
学习要求：
1．会用描点法画出二次函数的图象．
2．能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点、的位置．
*3．会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
重点难点
1.本节重点是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质的理解及灵活运用，难点是二次函数y＝ax2+bx+c的性质和通过配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式。
2.学习本小节需要仔细观察归纳图象的特点以及不同图象之间的关系。把不同的图象联系起来，找出其共性。
一般地几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同，只是位置不同.
任意抛物线y＝a(x-h)2+k可以由抛物线y＝ax2经过适当地平移得到，具体平移方法如下图所示：
注意：上述平移的规律是：“h值正、负，右、左移；k值正、负，上、下移”实际上有关抛物线的平移问题，不能死记硬背平移规律，只要先将其解析式化为顶点式，然后根据它们的顶点的位置关系，确定平移方向和平移的距离非常简便.
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y＝ax2的图象形状完全一样，它们的性质也有相似之处。当a＞0时，两条抛物线的开口都向上，并向上无限延伸，抛物线有最低点，y有最小值，当a＜0时，开口都向下，并向下无限延伸，抛物线有最高点，y有最大值.
3.画抛物线时一定要先确定开口方向和对称轴、顶点位置，再利用函数对称性列表，这样描点连线后得到的才是完整的，比较准确的图象。否则画出的图象，往往只是其中一部分。例如画y＝- (x+1)2-1的图象。
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-12
4.用配方法将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式，首先要提出二次项系数a。常犯的错误只提第一项，后面漏提。如y＝- x2+6x-21 写成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符号弄错，主要原因是没有掌握添括号的规则。
本节命题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质及其在实际生活中的运用。既有填空题、选择题，又有解答题，与方程、几何、一次函数的综合题常作为中考压轴题。
核心知识
规则1
抛物线 y=a(x-h)2+k 的性质:
一般地，抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2 形状相同，位置不同．抛物线 y=a(x-h)2+k 有如下特点：
(l) a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
(2) 对称轴是直线x＝h；
(3) 顶点坐标是(h，k)．
规则2
二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:
y=ax2+bx+c （ a，b，c 是常数，a≠0）是二次函数，图象是抛物线．利用配方，可以把二次函数表示成 y=a(x-h)2+k 的形式，由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，当a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
规则3
1.二次函数解析式的几种形式
(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和
x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).
2.二次函数解析式的确定
确定二次函数解析式，一般仍用待定系数法.由于二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2)，因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便；当已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个点的坐标(或横坐标x1,x2)时，选用两根式较为方便.
注意：当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时，最后一般都要化一般式.
3.二次函数y＝ax2+bx+c的图像
二次函数y＝ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
4.二次函数的性质
根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像可归纳其性质如下表：
函数
二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)
图
像
a＞0
a＜0
(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时，y随x的增大而减小；当x＞- 时，y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点，当x＝- 时，y有最小值，y最小值＝ .
(1) )抛物线开口向下，并向下无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ，顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时，y随x的增大而增大；当x＞- 时，y随x的增大而减小.
(4)抛物线有最高点，当x＝- 时，y有最大值，y最大值＝ .
5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①配方法：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式，顶点坐标(h,k)，对称轴为直线x＝h，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，y最小值＝k，若a＜0，y有最大值，当x＝h时，y最大值＝k.
②公式法：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0，y有最小值，当x＝- 时，y最小值＝ ，若a＜0，y有最大值，当x＝- 时，y最大值＝ .
6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：
(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
7.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的位置与a、b、c及Δ符号有密切的关系(见下表)：
项
目
字
母
字母的符号
图像的位置
a
a＞0
a＜0
开口向上 开口向下
b
b=0 ab＞0 ab＜0
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c
c=0 c＞0 c＜0
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
8.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
Δ＞0 抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝0 抛物线与x轴有1个交点；
Δ＜0 物线与x轴有0个交点(没有交点).
也可以到这个网站：http://www.26edu.com/soft/6852.htm
就这样了，祝你成功
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已知两个一次函数，Y=KX+2K,其图像为L1：y=-1/k*x+2/k
共0条评论...，其图像为L2，两直线交于点P并分别与横轴交于A,B两点，这里K为非零实数。
1）当K=1时，求出A,B,P的坐标，并求证∠APB=90度
2）当K=2时，求出以过A,B,P三点的抛物线为图像的二次函数关系式
3）通过(1),(2)得计算，说明K的取值对A,B坐标有什么影响？
4）当K为任意非零实数时，点P的运动变化存在怎样的规律？说明理由
解：已知两个一次函数，Y=KX+2K,其图像为L1：y=-1/k*x+2/k
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1）当K=1时，求出A,B,P的坐标，并求证∠APB=90度
2）当K=2时，求出以过A,B,P三点的抛物线为图像的二次函数关系式
3）通过(1),(2)得计算，说明K的取值对A,B坐标有什么影响？
4）当K为任意非零实数时，点P的运动变化存在怎样的规律？说明理由
共0条评论...，其图像为L2，两直线交于点P并分别与横轴交于A,B两点，这里K为非零实数。
1）当K=1时，求出A,B,P的坐标，并求证∠APB=90度
2）当K=2时，求出以过A,B,P三点的抛物线为图像的二次函数关系式
3）通过(1),(2)得计算，说明K的取值对A,B坐标有什么影响？
4）当K为任意非零实数时，点P的运动变化存在怎样的规律？说明理由
解：已知两个一次函数，Y=KX+2K,其图像为L1：y=-1/k*x+2/k
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1）当K=1时，求出A,B,P的坐标，并求证∠APB=90度
2）当K=2时，求出以过A,B,P三点的抛物线为图像的二次函数关系式
3）通过(1),(2)得计算，说明K的取值对A,B坐标有什么影响？
4）当K为任意非零实数时，点P的运动变化存在怎样的规律？说明理由
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前庄中学九年级（下）二次函数单元检测题
一、选择题（每小题10分，共30分）
1、已知二次函数 、 、 ，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、抛物线 的顶点坐标是（ ）
A、（2，0） B、（－2，0） C、（0，2） D、（0，－2）
3、二次函数 的图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为 ，则b与c分别等于（ ）
A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14
4、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小
的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x<3 C、x>1 D、x<1
5、二次函数 的图象在 轴上截得的线段长为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、抛物线 与 轴交点的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、以上都不对
7、抛物线 ，对称轴为直线 ＝2，且经过点P（3，0），则 的值为（ ）
A、－1 B、0 C、1 D、3
8、若方程 的两个根是－3和1，那么二次函数 的图象的对称轴是直线（ ）
A、 ＝－3 B、 ＝－2 C、 ＝－1 D、 ＝1
9、函数 与 的图象如图所示，
则下列选项中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象是（ ）
二、填空题（每小题4分，共40分）
1、若 是二次函数，则 ＝______；
2、已知二次函数 的图象如图所示，
则a___0，b___0，c___0， ____0；
3、抛物线 的对称轴为直线_______，顶点坐标为______，与 轴的交点坐标为________；
4、写出一个经过（0，－2）的抛物线的解析式_______________；
5、若二次函数 的图象经过原点，则m＝_________；
6、抛物线 与x轴交点的坐标为_________；
7、函数 有最____值，最值为_______；
8、已知函数 的图象关于y轴对称，则m＝________；
9、关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在第_____象限；
10、抛物线 与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为______。
三、解答题：
1、根据条件求二次函数的解析式（每小题5分，共20分）
（1）抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点；
（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；
（3）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；
（4）二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0），且最大值是3。
2、（10分）已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1
（1）求抛物线的解析式
（2）画出抛物线的草图
（3）根据图象回答：当x取何值时，y>0
3、（10分）某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
4、（10分）如图，二次函数 的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y）,试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论。
一、选择题（每小题10分，共30分）
1、已知二次函数 、 、 ，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、抛物线 的顶点坐标是（ ）
A、（2，0） B、（－2，0） C、（0，2） D、（0，－2）
3、二次函数 的图象沿 轴向左平移2个单位，再沿 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为 ，则b与c分别等于（ ）
A、6，4 B、－8，14 C、－6，6 D、－8，－14
4、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小
的x的取值范围是（ ）
A、x>3 B、x<3 C、x>1 D、x<1
5、二次函数 的图象在 轴上截得的线段长为（ ）
A、 B、 C、 D、
6、抛物线 与 轴交点的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、以上都不对
7、抛物线 ，对称轴为直线 ＝2，且经过点P（3，0），则 的值为（ ）
A、－1 B、0 C、1 D、3
8、若方程 的两个根是－3和1，那么二次函数 的图象的对称轴是直线（ ）
A、 ＝－3 B、 ＝－2 C、 ＝－1 D、 ＝1
9、函数 与 的图象如图所示，
则下列选项中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象是（ ）
二、填空题（每小题4分，共40分）
1、若 是二次函数，则 ＝______；
2、已知二次函数 的图象如图所示，
则a___0，b___0，c___0， ____0；
3、抛物线 的对称轴为直线_______，顶点坐标为______，与 轴的交点坐标为________；
4、写出一个经过（0，－2）的抛物线的解析式_______________；
5、若二次函数 的图象经过原点，则m＝_________；
6、抛物线 与x轴交点的坐标为_________；
7、函数 有最____值，最值为_______；
8、已知函数 的图象关于y轴对称，则m＝________；
9、关于x的一元二次方程 没有实数根，则抛物线 的顶点在第_____象限；
10、抛物线 与x轴的正半轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值为______。
三、解答题：
1、根据条件求二次函数的解析式（每小题5分，共20分）
（1）抛物线过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点；
（2）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；
（3）抛物线在x轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；
（4）二次函数的图象经过点（－1，0），（3，0），且最大值是3。
2、（10分）已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1
（1）求抛物线的解析式
（2）画出抛物线的草图
（3）根据图象回答：当x取何值时，y>0
3、（10分）某旅社有客房120间，每间房间的日租金为50元，每天都客满，旅社装修后要提高租金，经市场调查，如果一间客房的日租金每增加5元，则每天出租的客房会减少6间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？
4、（10分）如图，二次函数 的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD的顶点B、C在x轴上，A、D在抛物线上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内。
（1）求二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（x，y）,试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
（3）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论。
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建议你买《天利38套》数学，里面有各地中考真题，你只做最后一题就可以了。
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