Question

设a、b、c都是正实数，a/b+b/c+c/a=3，求证：a=b=c.

具体正确的过程！！！
初三知识解！

Answer 1

令a/b=p^3，b/c=q^3,c/a=r^3
(a/b)+(b/c)+(c/a)=p^3＋q^3＋r^3
现证明p^3＋q^3＋r^3≥3pqr
p^3+q^3+r^3-3pqr
=[( p+q)^3-3p^2q-3pq^2]+r^3-3pqr
=[(p+q)^3+r^3]-(3p^2q+3pq^2+3pqr)
=(p+q+r)[(p+q)^2-(p+q)r+r^2]-3pq(p+q+r)
=(p+q+r)(p^2+q^2+2pq-pr-qr+r^2)-3ab(p+q+r)
=(p+q+r)(p^2+q^2+r^2-pq-pr-qr)
=(p+q+r)(2p^2+2q^2+2r^2-2pq-2qr-2pr)/2
=(p+q+r)[(p－q)^2+(q-r)^2＋（p－r）^2]/2
p+q+r都为正实数，

所以p^3+q^3+r^3-3pqr＝(p+q+r)[(p－q)^2+(q-r)^2＋（p－r）^2]/2≥0
当且仅当p＝q＝r时，p^3+q^3+r^3-3pqr＝0

又a/b=p^3，b/c=q^3,c/a=r^3，(a/b)+(b/c)+(c/a)=3
所以pqr＝1
又(a/b)+(b/c)+(c/a)=3

所以
p^3+q^3+r^3＝3＝3pqr

对比不等式p^3＋q^3＋r^3≥3pqr，
有p＝q＝r，即是a/b=b/c=c/a
所以有b^2＝ac，c^2＝ab，有b^2/c^2＝c/b,
所以b^3＝c^3，同样有a^3＝b^3，a^3＝c^3
所以a＝b＝c

Answer 2

因为
a/b+b/c+c/a>=3* 三次根号下[( a/b)*(b/c)*(c/a)] =3
当且仅当：

a/b= b/c= c/a

已知a/b+b/c+c/a=3

所以
a=b=c

给我分哦

Answer 3

由三元的基本不等式得：
设 a、b、c都是正数，
a/b+b/c+c/a≥3·〔(a/b×b/c×c/a)的三次方根〕=3×1=3
当且仅当 a=b=c时 取等号.

Answer 4

x1,x2,x3为正数时，有公式x1+x2+x3>=3*(x1*x2*x3)^(1/3)(其中^(1/3)代表开三次根号)当且仅当x1=x2=x3时等号成立。
故a/b+b/c+c/a>=3，则a=b=c