Question

一道数学的排列组合问题

有编号为1、2、3、4的袋子
把7个鸡蛋放进袋中，不分先后，鸡蛋都一样，问有几种不同的方法。
请提供具体算法
·允许袋子空着
·貌似正确答案是120……
·还有高人没？

Answer 1

一二楼的方法不值得推敲。
如果把两个鸡蛋放进两个不同的袋子里，是不是就有2*2＝4种呢？当然不是。只有3种。即1号袋子两个；2号袋子两个；或每个袋子各一个（因为鸡蛋是相同的）。同样，3个鸡蛋放进两个袋子只有4种，4个鸡蛋放进两个袋子只有5种。……为什么会这样呢，因为1号袋子多了0这一种，而后面的袋子已没有选择。所以就是鸡蛋数加1种。

有了这样的概念，我们试着做原题。把原题中的4个袋子分成两组。即1、2为第一组，3、4为第二组。分别讨论。
当第一组为0时，第二组有8种。共8种。（原理上面已经说过）
当第一组为1时，有2种；第二组有7种。共2*7＝14种。
当第一组为2时，有3种；第二组有6种。共3*6＝18种。
当第一组为3时，有4种；第二组有5种。共4*5＝20种。
当第一组为4时，有5种；第二组有4种。共5*4＝20种。
当第一组为5时，有6种；第二组有3种。共6*3＝18种。
当第一组为6时，有7种；第二组有2种。共7*2＝14种。
当第一组为7时，有8种；第二组有1种。共8*1＝8种。
一共有（8+14+18+20）*2＝120种

这是连小学生都看得懂的方法。我不知道还有没有更好的方法，但这个结论是经得起推敲的。

Answer 2

问题可以这样理解，设每个袋子里的数目分别为x,y,z,w.则由题意：x+y+z+w=7（其中每个数都大于等于0），我们知道，每个都大于等于1是可以用隔板法的，于是令a=x+1,……
得：a+b+c+d=7+4=11(其中每个字母都不小于1）
在11个球中间的10个空中插入3个板分成四组，方法数为：
C10，3=120

结论是：设袋子有x个，鸡蛋有y个，则此题的答案为C（x+y-1),(x-1)种
注：上下标，此处不太好打，C后面的数，第一个为下标，第二个为上标！

Answer 3

插空法

（）蛋（）蛋（）蛋（）蛋（）蛋（）蛋（）蛋（）

四个袋子，可以理解为用三根“|”把蛋分成四堆
比方说|||蛋蛋蛋蛋蛋蛋蛋
他的意思就是1号袋0个，2号袋0个，3号袋0个，4号袋7个
在比方说，||蛋蛋蛋|蛋蛋蛋蛋
意思就是1号袋0个，2号袋0个，3号袋3个，4号袋4个 ,

题目就变成插空问题了，因为允许袋子空着，所以每个“|”8都有种插法(有8个空可以插）
所以有8*8*8=512种不同方法

应该不会有错

Answer 4

我给一个最巧妙的方法，绝对正确。

增加四个鸡蛋，分别每个袋子放一个。这样就变成共11个鸡蛋，没有袋子空着了。反过来也一样，11个鸡蛋放在四个袋子里，不允许空着，每个拿掉一个，就变成7个鸡蛋放四个袋子里，允许有的空着的情况。所以这两种情况的放法是等同的。

所有问题简化成了11个鸡蛋放在4个袋子里，不允许空着。

把这11个鸡蛋放在一排，中间有10个间隙，在这10个间隙中任意放入3个隔板，可以将它分成四份，相当于装在四个袋子中。在10个间隙中放3个隔板的放法,是组合问题，总共有：
C10（3）＝10*9*8/3*2*1=120

这就是总的方法有120中。

Answer 5

第一步:把蛋分堆
1.一堆:1种
2.两堆:(1+6,2+5,3+4)3种
3.三堆:(1+1+5,1+2+4,1+3+3,2+2+3)4种
4.四堆:(1+1+1+4,1+1+2+3,1+2+2+2)4种
第二步:把分好的蛋装袋（接第一步)
1.A41 =4种 (下标4上标1)
2.A42 + A42 + A42 = 36种
3.C41×C32 + A43 + C41×C32 + C41×C32=60种
4.C41 + A42 + C41 =20种
(当有蛋数重复的蛋堆时,先排不重复的)
综上,4+36+60+20=120种