Question

如图,D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α...

如图,D是Rt△ABC斜边BC上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β. (1)求证 sinα+sin2β=0.(2)若AC=根号3DC，求β的值

Answer 1

因为AB=AD
所以∠ABC=∠ADB=β
∠ABC+∠ADB+∠DAB=180°
即2β+∠DAB=180°-------1
又因为是Rt△ABC
所以∠CAD+∠DAB=90°
即α+∠DAB=90 --------2
用1-2可得到
2β-α=90°
可得 2β=90°+α
sin2β=sin(90°+α)=cosα
sin2β-cosα=0
才疏学浅 只能算到这里。

Answer 2

(1) AB=AD ∠ABC=∠ADB
β=∠ABC=∠ADB=α+∠C=α+(90-β)
2β=90+α
cos2β=cos(90+α)=-sinα, sinα+cos2β=0

(2)正弦定理：AC/sin∠ADC=DC/sinα
sin∠ADC=sin(180-∠ADB)=sin(180-β)=sinβ
AC=√3*DC
得：sinβ=√3sinα=√3sin(2β-90)=-√3cos2β=-√3(1-2sin^2 β)
2√3*(sinβ)^2-sinβ -√3=0
sinβ=√3/2, β=60度