Question

一道数学题 答出来算你天才 我觉得非常难

（（根号下17+4）的（2n+1）方 n属于N* 。这个式子的整数部分和小数部分分别为X Y 则Y(X+Y)=？？？ 答案是1 可以推导实验出来 但这道题是证明题

Answer 1

解题思路：
1）（√17＋4）^(2n+1)＝m＋M
只要知道M与m中的一个就可以了。
2）可先对M或m的结果进行猜测
当n＝0时，M＝8，m＝√17－4；
当n＝1时，M＝536，m＝（√17－4）^3；
猜测m＝（√17－4）^(2n+1).

所以我的解答如下：

解：
设x＝√17＋4，y＝√17－4.
则 x－y＝8，xy＝1，x^2＋y^2＝66
下面用数学归纳法证明x^(2n＋1)－y^(2n＋1)是整数：
1）当n＝0时，x－y＝8，是整数；
当n＝1时，x^3－y^3＝（x－y）（x^2＋xy+y^2）＝8×（66＋1）
所以，x^3－y^3也是整数；

2）若当n＝k－1和n＝k时，x^(2n＋1)－y^(2n＋1)都是整数，
即x^(2k－1)－y^(2k－1)和x^(2k＋1)－y^(2k＋1)都是整数，则当n＝k＋1时，
x^(2n＋1)－y^(2n＋1)
＝x^(2k＋3)－y^(2k＋3)
＝（x^2＋y^2）[（x^(2k＋1)－y^(2k＋1）＋x^2y^(2k＋1)－y^2x^(2k＋1)]
＝（x^2＋y^2）{x^(2k＋1)－y^(2k＋1)－x^2y^2[x^(2k－1)－y^(2k－1）] }
＝66{x^(2k＋1)－y^(2k＋1）－[x^(2k－1)－y^(2k－1）] }
所以，当n＝k＋1时，x^(2n＋1)－y^(2n＋1)也是整数.

综合1）、2）可得，当n∈N时，x^(2n＋1)－y^(2n＋1)是整数.

∵4＜√17＜5，∴0＜y＜1,∴0＜y^(2n＋1)＜1；
∵x＝√17＋4，∴x^(2n＋1)＝（√17＋4）^(2n＋1)，
又∵x^(2n＋1)－y^(2n＋1)是整数，0＜y^(2n＋1)＜1，
∴M＝x^(2n＋1)－y^(2n＋1)，m＝y^(2n＋1).

∴m(M＋m)＝y^(2n＋1)x^(2n＋1)＝（xy）^(2n＋1)＝1^(2n＋1)＝1

那么我不介意你叫我天才。。。。哈。
不过我也是想了很久才想起这种思路的。。。
我写得这么详细和这么辛苦，你不会就一点悬赏都没有吧。。(*^__^*)