Question

求定积分：∫(上限ln2，下限0)(e^x)(1＋e^x)dx的值。

我是这样解的：∫(上限ln2，下限0)(e^x)(1＋e^x)dx＝∫(上限ln2，下限0)(e^x＋e^2x)dx＝∫[e^x＋(e^2x)/2]|(上限ln2，下限0)＝2＋2－1－1/2＝5/2
可是，参考答案：
设e^x＝t，t∈[1,2]，∴d(e^x)＝d(t)，∴(e^x)d(x)＝d(t)
∴∫(上限ln2，下限0)(e^x)(1＋e^x)dx＝∫(上限2，下限1)[( 1+t)^2]dt=19/3

我这里看不明白：
∴(e^x)d(x)＝d(t)，
∴∫(上限ln2，下限0)(e^x)(1＋e^x)dx＝∫(上限2，下限1)[(1+t)^2]dt
这种换元法的思路以前做过。

Answer 1

楼主，答案是错误的，你作对了。

答案错在：
∫(上限ln2，下限0)(e^x)(1＋e^x)dx＝∫(上限2，下限1)[( 1+t)^2]dt
在这里，不应该是∫(上限2，下限1)[( 1+t)^2]dt，而应该是：
∫(上限2，下限1)( 1+t)dt=[( 1+t)^2]/2|(上限2，下限1)=9/2-2=5/2

Answer 2

同学，答案就是5/2，你和答案的方法都对。d(e^x)＝d(t)，∴(e^x)d(x)＝d(t)，后面的式子是对e^x求导得到的。下一步就是代换.答案只是求错了

Answer 3

答案错了，你对了