Question

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x

已知函数f(x)=(x2+2x+a)/x,x∈〔1,＋∞)(1)当A=1/2时,求函数f(x)的最小值（2） 若对任意x∈1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围

Answer 1

1
f(x)=(x2+2x+1/2)/x=x+1/(2x)+2
令a>b>1,则f(a)-f(b)=(a-b)+(1/2)(b-a)/(ab)
=(a-b)[1-1/(2ab)]
a>b>1,∴a-b>0,1-1/(2ab)>0;
∴f(a)-f(b)=(a-b)[1-1/(2ab)]>0;
f(a)>f(b);f(x)在x∈〔1,＋∞)上单调递增;
∴函数f(x)的最小值是f(1)=7/2;

2
f(x)=(x2+2x+a)/x
=[(x+1)^2+(a-1)]/x
∵x>1,
∴只要(x+1)^2+(a-1)＞0,那么f(x)=[(x+1)^2+(a-1)]/x＞0恒成立
x>1,则(x+1)^2＞4;
∴必须a-1＞-4,才能保证对任意x∈1，＋∞），(x+1)^2+(a-1)＞0.
∴a＞-3

Answer 2

1
f(x)=(x2+2x+1/2)/x=x+1/(2x)+2
令a>b>1,则f(a)-f(b)=(a-b)+(1/2)(b-a)/(ab)
=(a-b)[1-1/(2ab)]
a>b>1,∴a-b>0,1-1/(2ab)>0;
∴f(a)-f(b)=(a-b)[1-1/(2ab)]>0;
f(a)>f(b);f(x)在x∈〔1,＋∞)上单调递增;
∴函数f(x)的最小值是f(1)=7/2;
2
f(x)=(x2+2x+a)/x
=[(x+1)^2+(a-1)]/x
∵x>1,
∴只要(x+1)^2+(a-1)＞0,那么f(x)=[(x+1)^2+(a-1)]/x＞0恒成立
x>1,则(x+1)^2＞4;
∴必须a-1＞-4,才能保证对任意x∈1，＋∞），(x+1)^2+(a-1)＞0.
∴a＞-3

Answer 3

(1)当A=1/2时,求函数f(x)的最小值
解答如下：
f(x)=(x2+2x+a)/x,
=x+2+1/2x
由于x∈〔1,＋∞)，x>0
所以：
f(x)=x+2+1/2x
〉=2（1/2开根号）+2
所以最小值为：2+（2开根号）。

（2） 若对任意x∈1，＋∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围
因为分母已经大于，所以只需分子大于0即可。
分子=x2+2x+a，
其对称轴=-1，所以在区间x∈1，＋∞）上，分子是个增函数，所以只需要
f(1)>0即可，可以得到：
a>-3.