Question

已知a,b,c,d为实数,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.(用反证法做! )

Answer 1

假设都是正数

a+b=1
c+d=1

两式相乘得

ac+ad+bc+bd=1
因为 ac+bd>1 所以 ad+bc<0
因为a,b,c,d都是正数，所以 ad+bc>0
矛盾

故结论成立。

Answer 2

假设abcd没有一个负数
又因为a+b=1.c+d=1
所以abcd都大于等于0小于等于1
则a=1-b,c=1-d
ac+bd=(1-b)(1-d)+bd=1-b-d+2bd>1
b(d-1)+d(b-1)>0
因为0≤d≤1,0≤b≤1
所以-1≤d-1≤0,-1≤b-1≤0
而b≥0，d≥0
所以b(d-1)≤0,d(b-1)≤0
他们相加=0
所以只有b(d-1)=d(b-1)=0
若b=0，则由d(b-1)=0得到d=0
则由a+b=1.c+d=1
a=c=1
但这和ac+bd>1矛盾
所以a,b,c,d中至少有一个负数

Answer 3

根据搂主的提示，假设a,b,c,d中全都大于0，则有：
b=1-a>0,d=1-c>0,
ac+bd=ac+(1-a)*(1-c)
=2ac-a-c+1>1

2ac>a+c>2(ac开根号)
ac>1......(1)

根据题目条件：ac+bd>1，
得到：ac>1-bd
因为，b>0,d>0,所以bd>0,ac<1,与上述的（1）矛盾。

Answer 4

假设a，b，c，d都是非负数，
则0≤a≤1，0≤b≤1,0≤c≤1,0≤d≤1,
那么0≤ac≤1,0≤bd≤1,
所以0≤ac+bd≤1,
因此，与ac+bd>1矛盾。
由此可证，a,b,c,d中至少有一个是负数