Question

高数的一题,微分方程,答案是y=(x/3)+(C/x^2).怎么做啊?

x^2dy+(2xy-x^2)dx=0

Answer 1

x^2dy+(2xy-x^2)dx=0

两边除以x^2

(2y/x-1)dx+dy=0
令y/x=v
dy=xdv+vdx
(v^2-1)dx+xdv+vdx=0
(3v-1)dx+xdv=0
dx/x=dv/(1-3v)
两边积分得到：
ln|x|=-1/3ln|1-3v|
ln|x|=-1/3ln|1-3y/x|
x^(-2)=x-3y
所以
最后的结果是:
y=(x/3)+(C/x^2)

此即为通解

Answer 2

变形为 dy/dx+2y/x-1=0
可以发现它是齐次方程
作换元，令u=y/x,得y=ux,dy/dx=xdu/dx+u
代入原方程可得
xdu/dx+3u-1=0
化为可分离变量方程
du/(1-3u)=dx/x
由此可以得到。已经有人解出了，呵呵

也可以用全微分方程的方法来求
判断得知，它就是全微分方程
用凑微分的办法，易知
左边为 x^2dy+2xydx-x^2dx=0
即：d(x^2y)-d(x^3/3)=0
于是通解为：yx^2-x^3/3=C