Question

微分方程的题目~

建立具有下列性质的曲线所满足的微分方程~1，曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为零~
答案找到了~能写点过程吗？y'=(y+xtanα)/(x-ytanα)

Answer 1

设曲线参数表示为r=r(t)，所以由条件可得微分方程：
分两种情况
1.dr/dt=k*r,其中k为非零常数
2.dr/dt=k，k为任意常向量

你的结果就是由上面的式子得到的：
在dr/dt=k*r中，由于k的任意性，可设k为1/tanα
由参数表示x=r(t)*cos(t),y=r(t)*sin(t)
所以由参数坐标求导法则可以得到
dy/dx=[r'(t)*sin(t)+r(t)*cos(t)]/[r'(t)*cos(t)-r(t)*sin(t)]
将r'(t)=k*r(t)=r(t)*(1/tanα)代入得
y'=[r(t)*(1/tanα)*sin(t)+r(t)*cos(t)]/[r(t)*(1/tanα)*cos(t)-r(t)*sin(t)]
再将其中的r(t)*cos(t)和r(t)*sin(t)还原为x，y即得结果
y'=(y+xtanα)/(x-ytanα)