Question

用数学归纳法证明1^3+ 2^3+···+n^3=(1+2+3···+n)^2

用数学归纳法证明1^3+ 2^3+···+n^3=(1+2+3···+n)^2
当n=k+1代入时不会算了，额。怎么三次方算到平方中去啊？

Answer 1

当n=k+1时，
1^3+ 2^3+···+k^3+(k+1)^3
=(1+2+3···+k)^2+(k+1)^3
=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3 运用等差数列求和公式
=(k+1)^2(k^2/4+k+1)
=(k+1)^2(k+1+1)^2/4 反用等差数列求和公式
=(1+2+3+...+k+1)^2

Answer 2

1+2^3+……+k^3+(k+1)^3=(1+2+……+k)^2+k^3+3k^2+3k+1
=(1/4)k^2(k+1)^2+k(k+1)^2+(k^2+2k+1)
=(1/4)k^2(k+1)^2+k(k+1)^2+(k+1)^2
=((1/2)k(k+1)+(k+1))^2
=(1+2+……+k+(k+1))^2