Question

高二数学选修2-2

等腰三角形的周长为2p，它绕底边旋转一周成一几何体，问三角形的各边长分别是多少时，几何体的体积最大？
谢谢啦 详细点！！！！！！！

Answer 1

设底长2a，则腰长：(2p-2a)/2=p-a, 高:h^2= (p-a)^2 - a^2 = p^2 -2ap

它绕底边旋转一周成两个圆锥体，每个圆锥体底面半径是h，高是a，体积：

V=2/3 * π h^2*a = 2π/3 *(p^2 - 2ap)*a = pπ/3 * (p-2a)*2a

均值不等式：√(p-2a)*2a ≤ (p-2a+2a)/2 = p/2

当且仅当 p-2a=2a, 即 a=p/4 时等号成立。即圆锥体积最大。

此时，底边长：2a=p/2, 腰长：p-a=3p/4.

最大体积：V=pπ/3 * (p-2a)*2a= pπ/3 *p/2*p/2 = π p^3/12

Answer 2

设腰长为x，则底边长度为2p-2x；
旋转后为两个底连接在一起的圆锥体，单个圆锥体的高度为h=p-x；
而圆锥体的圆半径R＝三角形底边上的高，即根号下（x^2-(p-x)^2)
于是几何体的体积V=2∏ R^2 h=2∏（x^2-(p-x)^2)×（p-x）
=2p∏（2x-p)(p-x)

求最大值，当（2x-p)＝(p-x)即x=2/3 p，这时底边为2/3 p，底边等于腰长。

Answer 3

三角形绕底边旋转形成的几何体可能是个纺锤体，不会算它的体积，不过可以类似看成一个圆柱体，那就是用三角形的高的平方×π再×底边
设边长为X，底边为Y，
最后圆柱体体积可以算出得
π[（4P^2-4PY-Y^2）/4-Y^2]*Y
然后求导求最大值吧，之后的都望了怎么做了
见谅 仅供参考

Answer 4

设等腰三角形的腰长为x；
则等腰三角形的高为：根号[x^2-(p-x)^2]

几何体为两个底面积相等，高相等的圆锥体；
圆锥体的体积为：

1/3 S*h
=1/3 * Pi * (x^2-(p-x)^2)*(p-x)
=1/3 * Pi * p(2x-p)(p-x)
=1/3 * Pi * 2p(x-p/2)(p-x)

当(x-p/2)(p-x)值最大时，体积最大
而(x-p/2) + (p-x) =p/2 为定值
所以 x-p/2 = p-x =p/4 时。乘机最大

所以x=3p/4
等腰三角形三边长为：3p/4、3p/4、p/2

春之歌ok的答案没有注意和需要为定值，的条件

Answer 5

设腰长为x
则底边长为2p-2x；
旋转后就是两个圆锥体
单个圆锥体的高度
h等于底边的一半=p-x；
而圆锥体的底面圆半径R
等于三角形底边上的高
等于根号下（x^2-(p-x)^2)
根据圆锥体积公式1/3 S*h

于是几何体的体积
V=2/3∏ R^2 h=2∏（x^2-(p-x)^2)×（p-x）
=2/3p∏（2x-p)(p-x)
剩下问题 我们可以用最基本的方法求最大值
只要求出（2x-p)(p-x) 的最大值就可以了
展开等于
-2x^2+3px-p^2
把前面两项变成完全平方
结果是
-2（x-3/4p)^2+17/16p^2
所以当x=3/4p时
该式有最大值 17/16p^2
把它代人体积就等于
17/24p^3∏
所以 腰长为3/4p 3/4p 底边长1/2p时体积最大