Question

已知a,b,c为三正数，且a+b+c=12,ab+ac+bc=45,求abc的最大值.

用不等式的知识解

Answer 1

此题有难度，楼上的结果完全不对。

题目给了两个约束条件，利用a=b=c则abc达到最大值的条件无法成立。我认为直接用不等式的知识很难解答。

a+b=12-c, [1]

ab+c(a+b)=ab+c(12-c)=45, ab=c^2-12c+45, [2]

可以将a，b看成是方程：x^2 + (c-12)x + (c^2-12c+45) = 0 的两个正解。

则：(c-12)^2-4(c^2-12c+45)= -3 (c^2-8c+12) ≥0,

解得： 2≤c≤6；同样2≤a≤6，2≤b≤6

等式[2]两边乘c，得：abc=f(c)= c^3-12c^2+45c, [3]

现在求f(c)的最大值。f'(c)= 3c^2-24c+45=3(c-3)(c-5) , [4]

令f'(c)= 0，得到 c=3 或c＝5

当2≤c<3时，f'(c)>0, 3<c<5时，f'(c)<0, 5<c≤6时，f'(c)>0，通过函数的单调性可以看到，f(3)有极大值，f(5)有极小值

f（3）＝3*(3^2-12*3+45)=54, f(6)=6*(6^2-12*6+45)=54

即abc的最大值是54。

Answer 2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+ac+bc)=12^2
a^2+b^2+c^2=144-90=54
3abc≤a^2+b^2+c^2
abc≤18
abc最大值为18