Question

过P（2，1）做直线L，分别交X轴y轴正半轴于AB两点，当三角形AOB的面积最小时，求L的方程

过程详细的！！！！

Answer 1

设过P（2，1）的直线L的解析式是：
y=kx+b
三角形AOB的面积最小，即是该直线过原点时，此三角形面积是0为最小，
所以，b=0
因为此直线过P（2，1），所以，
1=2k+0
即是：
k=1/2
但因直线L分别交X轴y轴正半轴于AB两点，
因此，该直线的斜率应为1/2的相反数，即是：-1/2
因此，此直线L的解析式是：
y=（-1/2）x

Answer 2

见图

Answer 3

过点P作分别平行于X,Y轴的直线交X轴于点E,交Y轴于F,则四边形OEPF为矩形.只有当PE=EA,BF=PE时,三角形ABC的面积最小.(因为PF,PE为定值)
则有OA=OE+EA=2+2=4,
OB=OF+FB=1+1=2.
则点A坐标为(4,0)点B坐标为(0,2).
设直线L方程为Y=KX+2,点A(4,0)在直线上,有
0=4K+2,
K=-1/2,
L的方程为Y=-1/2X+2.

Answer 4

设所做直线倾斜角的补角为a
AO=1+2tana
BO=2+1/tana
S=0.5AO*BO=2+2+4tana+1/tana>=4+2倍的根下4=8
当且仅当4tana=1/tana，tana=0.5时，等号取得。（运用不等式，a+b>=2根ab）
此时，直线的斜率为-0.5
所以L:
x+2y-4=0

Answer 5

设直线方程y-1=k(x-2),k<0
令x＝0，y=1-2k
令y=0, x=-1/k+2
S三角形AOB＝(1-2k)(-1/k+2)=-1/k+(-4k)+4
当且仅当k=-1/2时
原式＞＝8
面积最小值为8