Question

格林公式三道题80分~

利用格林公式计算曲线积分
（1）I=∫（L）（x^2-y）dx+(y^2-x)dy 其中L是沿逆时针方向一原电为中心，a为半径的上半圆周
（2）∫（L）（上面带一个小圆圈~~）（2x-y+4）dx+(5y+3x-6)dy,
其中L为三顶点分别为（0.0）（3.0）（3.2）的三角形正向边界。
（3）计算心形线x=2acost-acos2t,y=2asint-asin2t所围成图形的面积~
用格林公式哦~顺便说一下格林公式，谢谢

Answer 1

（1）格林公式也要求曲线闭合，题中只有半圆，可以补上X轴上的直径L'，构成闭合曲线；
逆时针方向，符号为正。
I=∫（L+L'-L）（x^2-y）dx+(y^2-x)dy
=∫∫[-1-(-1)]dxdy-∫(L')(x^2-y）dx+(y^2-x)dy
=0-∫[-a,a](x^2-0)dx+0
=-x^3/3 (-a<x<a)
=-2a^3/3
不好意思，时间不够了，先做一个，后面两个有时间再做。

Answer 2

（1）I=∫（L）（x^2-y）dx+(y^2-x)dy =∫∫(D)（-1+1）dxdy-∫[-a,a]（x^2）dx=-2a³/3，其中D是沿逆时针方向一原电为中心，a为半径的上半圆盘（2）∫（L）（上面带一个小圆圈~~）（2x-y+4）dx+(5y+3x-6)dy=∫∫（D）(3+1)dxdy=4*(1/2)*2*3=12,其中D为三顶点分别为（0.0）（3.0）（3.2）的三角板。（3）计算心形线x=2acost-acos2t,y=2asint-asin2t所围成图形的D面积S=∫∫(D)dxdy=∮(心形线正向)x/2dy-y/2dx=∫[0,2π] 3a²(1-cost)dt=6a²π。用格林公式哦~顺便说一下格林公式，∮(L正)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫(L围成的D)(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy 。

Answer 3

格林公式：设平面闭区域D是有分段光滑的曲线L围成的单连通区域，函数P（x,y)及Q（x,y）在D上有一阶连续偏导数，则有∮Pdx+Qdy=∫∫(Q对x的偏导-P对y的偏导）dxdy.强调一下，运用这个公式有方向规定，一般是逆时针为正。
第一小题，可以把半圆看成为一个单连通区域，套用格林公式可以算出∮（x^2-y）dx+(y^2-x)dy =0，然后在减去在x轴上部分的积分，设x轴上部分线段为AB，A在左，此时，y=dy=0，∫（AB）=∫（上标a,下标-a）x^2 dx=三分之二a^3。所以，整道题的答案就是0-三分之二a^3。
第二题，直接套用公式就行了，答案是6.
第三题，格林公式的推论，S=1/2∮(下标L)xdy-ydx,把x,y用t代入就行了。

Answer 4

云雨雷电风 已经给你做主了，
别哭了，哈。