Question

已知a+b=1 ,(a+1/a)^2+(b+1/b)^2最小值为?(答案是25/2)

Answer 1

当a b都大于0时不等式成立

因为|a+1/a|>=2
所以（a+1/a)^2+(b+1/b)^2>=8>25/4

先举个例子

设函数F（X）在[A，B]连续，在（A，B）可导，且F（A）=F（B）=0，求证存在S属于（A，B），使
S*F（S）+F‘（S）=0

这类问题都可以化成求S，使F（S）=G（S）*F’（S）的问题，
解决方法是构造函数。

令 G1（X）=-1/G（X）的积分
Q（X）=e^G1(X)
则我们构造出F（X）*Q（X）这个函数，再用柯西定理去解决。

试试看，不用再绞尽脑汁去构造函数。

文章开头的例子的解法：
求S 使S*F（S）+F‘（S）=0
即F（S）=-1/S*F‘（S）
令G（X）=-1/X
则G1（X）=-1/G（X）积分=X积分=X*X/2
则Q(X)=e^(X*X/2)

现在我们构造出函数 P（X）=F（X）*Q（X）=F（X）*e^(X*X/2)
则函数P（X）在[A，B]连续，在（A，B）可导，且P（A）=P（B）=0
根据柯西定理，存在一点S，使P’（S）=0
P‘（X）=F（X）*e^(X*X/2)*X+F’（X）*e^(X*X/2)
=[X*F（X）+F‘（X）]*e^(X*X/2)
存在S使P’（X）=0，
因为e^(X*X/2)《》0
所以S*F（S）+F‘（S）=0

【柯西不等式的证法】
柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
■②用向量来证.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于0，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

【柯西不等式的应用】
柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
■巧拆常数：
例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均为正数
∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等号不能成立
∴原不等式成立。

Answer 2

利用a^2+b^2>=0.5*(a+b)^2
代入:(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
>=0.5*(a+1/a+b+1/b)^2
=0.5*(1+1/ab)^2
很容易得ab<=0.25*(a+b)^2=1/4 得到1/ab>=4
因此原式 >=0.5*(1+4)^2=25/2
两个不等号取等号时的条件是一样的,都是a=b.因此成立.

Answer 3

a+b=1 >= 2ab (当a = b= 1/2 时取等号，此时 ab 最大值为1/4)

（a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2 + 1/a^2 + b^2 + 1/ b^2 + 4
=[a^2 + b^2] * [1+ 1/(ab)^2] + 4
=[1-2ab][1+1/ab)^2] +4 >= [1-2*0.25][1+16] + 4 =0.5*17 + 4 =12.5