矩阵(AB)^(-1)是否等于A^(-1)B^(-1)
书上有一个A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=B(A+B)^(-1)A条件是A,B,A+B都可逆这样对...
书上有一个A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=B(A+B)^(-1)A
条件是A,B,A+B都可逆
这样对吗
为什么我举得例子就是这样算的呢?
因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
能问一下,这步怎么来的吗? 展开
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=B(A+B)^(-1)A
条件是A,B,A+B都可逆
这样对吗
为什么我举得例子就是这样算的呢?
因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
能问一下,这步怎么来的吗? 展开
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因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
所以
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)
=[A^(-1)(A+B)B^(-1)]^(-1)
=B(A+B)^(-1)A
证明:
A^2-2AB=E A (A-2B)=E
说明A可逆,且A的逆为A -2B
上式变形得到B=(A^2-E )/(2A)
代入AB-BA+A化简得到
AB-BA+A=A(A^2-E )/(2A)-(A^2-E )A/(2A)+A(此时才能把AB-BA约去)
得到AB-BA+A=A 得以证明。
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因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
所以
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)
=[A^(-1)(A+B)B^(-1)]^(-1)
=B(A+B)^(-1)A
题中的解法是对的,只是步骤有跳跃,所以不太连贯。
你补充的问题解释如下:
因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
又因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
由A与B的对称性有
B^(-1)+A^(-1)=A^(-1)(B+A)B^(-1)
又A+B=B+A,所以
B^(-1)+A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
再结合A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)和A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)两式,就得到
B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
所以
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)
=[A^(-1)(A+B)B^(-1)]^(-1)
=B(A+B)^(-1)A
题中的解法是对的,只是步骤有跳跃,所以不太连贯。
你补充的问题解释如下:
因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
又因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
由A与B的对称性有
B^(-1)+A^(-1)=A^(-1)(B+A)B^(-1)
又A+B=B+A,所以
B^(-1)+A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
再结合A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)和A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)两式,就得到
B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
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矩阵(AB)^(-1)不等于A^(-1)B^(-1),等于B^(-1)A^(-1),即
(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)
利用乘法对加法分配律得,
B^(-1)(A+B)A^(-1)= B^(-1)*A*A^(-1)+B^(-1)*B*A^(-1)=A^(-1)+B^(-1)
故你题上的第一行是完全正确的,利用第一行的结果A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
则有[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)
=A(A+B)^(-1)B,
故你题上的第二行是不正确的,右边应该是A(A+B)^(-1)B,而不是B(A+B)^(-1)A .
(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)
利用乘法对加法分配律得,
B^(-1)(A+B)A^(-1)= B^(-1)*A*A^(-1)+B^(-1)*B*A^(-1)=A^(-1)+B^(-1)
故你题上的第一行是完全正确的,利用第一行的结果A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
则有[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)
=A(A+B)^(-1)B,
故你题上的第二行是不正确的,右边应该是A(A+B)^(-1)B,而不是B(A+B)^(-1)A .
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你上面的第一个式子可以这样理解:B^(-1)*B=E=A*A^(-1)=B*B^(-1)=A^(-1)*A
A^(-1)=E*A^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)
A^(-1)=A^(-1)*E=A^(-1)*B*B^(-1)
B^(-1)=B^(-1)*E=B^(-1)*A*A^(-1)
B^(-1)=E*B^(-1)=A^(-1)*A*B^(-1)
所以:A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)+B^(-1)*A*A^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
A^(-1)+B^(-1)=A^(-1)*B*B^(-1)+A^(-1)*A*B^(-1)=A^(-1)*(A+B)B^(-1)
矩阵(A*B)^(-1)=B^(-1) A^(-1)
所以:[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)=[A^(-1)*(A+B)B^(-1)]^(-1)=A(A+B)^(-1)B=B(A+B)^(-1)A
矩阵乘积不满足交换律:即A*B不等于B*A。
A^(-1)=E*A^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)
A^(-1)=A^(-1)*E=A^(-1)*B*B^(-1)
B^(-1)=B^(-1)*E=B^(-1)*A*A^(-1)
B^(-1)=E*B^(-1)=A^(-1)*A*B^(-1)
所以:A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)+B^(-1)*A*A^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
A^(-1)+B^(-1)=A^(-1)*B*B^(-1)+A^(-1)*A*B^(-1)=A^(-1)*(A+B)B^(-1)
矩阵(A*B)^(-1)=B^(-1) A^(-1)
所以:[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)=[A^(-1)*(A+B)B^(-1)]^(-1)=A(A+B)^(-1)B=B(A+B)^(-1)A
矩阵乘积不满足交换律:即A*B不等于B*A。
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前两式是对的
B^(-1)(A+B)A^(-1)=[B^(-1)A+I]A^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)这个式子就象上面这么乘开就可以得到A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=B(A+B)^(-1)A
<=>B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)=(A+B)^(-1)
<=>[A(A^(-1)+B^(-1))B]^(-1)=(A+B)^(-1)
<=>B+A=A+B
B^(-1)(A+B)A^(-1)=[B^(-1)A+I]A^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)这个式子就象上面这么乘开就可以得到A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=B(A+B)^(-1)A
<=>B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)=(A+B)^(-1)
<=>[A(A^(-1)+B^(-1))B]^(-1)=(A+B)^(-1)
<=>B+A=A+B
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