Question

矩阵(AB)^(-1)是否等于A^(-1)B^(-1)

书上有一个A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=B(A+B)^(-1)A
条件是A，B，A+B都可逆
这样对吗
为什么我举得例子就是这样算的呢？
因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
能问一下，这步怎么来的吗？

Answer 1

因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)

所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)

所以

[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)

=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)

=[A^(-1)(A+B)B^(-1)]^(-1)

=B(A+B)^(-1)A

证明：

A^2-2AB=E A (A-2B)=E

说明A可逆,且A的逆为A -2B

上式变形得到B=(A^2-E )/(2A)

代入AB-BA+A化简得到

AB-BA+A=A(A^2-E )/(2A)-(A^2-E )A/(2A)+A（此时才能把AB-BA约去）

得到AB-BA+A=A 得以证明。

Answer 2

因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
所以B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
所以
[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)
=[B^(-1)+A^(-1)]^(-1)
=[A^(-1)(A+B)B^(-1)]^(-1)
=B(A+B)^(-1)A

题中的解法是对的，只是步骤有跳跃，所以不太连贯。

你补充的问题解释如下：
因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)
又因为A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
由A与B的对称性有
B^(-1)+A^(-1)=A^(-1)(B+A)B^(-1)
又A+B=B+A，所以
B^(-1)+A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)
再结合A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)和A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)两式，就得到
B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)

Answer 3

矩阵(AB)^(-1)不等于A^(-1)B^(-1),等于B^(-1)A^(-1),即
(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)
利用乘法对加法分配律得,
B^(-1)(A+B)A^(-1)= B^(-1)*A*A^(-1)+B^(-1)*B*A^(-1)=A^(-1)+B^(-1)
故你题上的第一行是完全正确的,利用第一行的结果A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
则有[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)
=A(A+B)^(-1)B,
故你题上的第二行是不正确的,右边应该是A(A+B)^(-1)B,而不是B(A+B)^(-1)A .

Answer 4

你上面的第一个式子可以这样理解：B^(-1)*B=E=A*A^(-1)=B*B^(-1)=A^(-1)*A
A^(-1)=E*A^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)
A^(-1)=A^(-1)*E=A^(-1)*B*B^(-1)
B^(-1)=B^(-1)*E=B^(-1)*A*A^(-1)
B^(-1)=E*B^(-1)=A^(-1)*A*B^(-1)
所以：A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)*B*A^(-1)+B^(-1)*A*A^(-1)=B^(-1)(A+B)A^(-1)
A^(-1)+B^(-1)=A^(-1)*B*B^(-1)+A^(-1)*A*B^(-1)=A^(-1)*(A+B)B^(-1)
矩阵（A*B）^(-1)=B^(-1) A^(-1)
所以：[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=[B^(-1)(A+B)A^(-1)]^(-1)=[A^(-1)*(A+B)B^(-1)]^(-1)=A(A+B)^(-1)B=B(A+B)^(-1)A
矩阵乘积不满足交换律：即A*B不等于B*A。

Answer 5

前两式是对的

B^(-1)(A+B)A^(-1)=[B^(-1)A+I]A^(-1)=B^(-1)+A^(-1)

B^(-1)(A+B)A^(-1)=A^(-1)(A+B)B^(-1)这个式子就象上面这么乘开就可以得到A^(-1)+B^(-1)=B^(-1)+A^(-1)

[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)=B(A+B)^(-1)A
<=>B^(-1)[A^(-1)+B^(-1)]^(-1)A^(-1)=(A+B)^(-1)
<=>[A(A^(-1)+B^(-1))B]^(-1)=(A+B)^(-1)
<=>B+A=A+B