Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点

如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；

Answer 1

）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），
∴ a+b+3＝0 16a+4b+3＝3 ，
解得 a＝1 b＝−4 ，
所以，抛物线的解析式为y=x2-4x+3；

（2）∵点A、B关于对称轴对称，
∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 k+b＝0 4k+b＝3 ，
解得 k＝1 b＝−1 ，
所以，直线AC的解析式为y=x-1，
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=2-1=1，
∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；

（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立 y＝x+m y＝x2−4x+3 ，
消掉y得，x2-5x+3-m=0，
△=（-5）2-4×1×（3-m）=0，
即m=-13 4 时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=5 2 ，y=5 2 -13 4 =-3 4 ，
∴点E的坐标为（5 2 ，-3 4 ），
设过点E的直线与x轴交点为F，则F（13 4 ，0），
∴AF=13 4 -1=9 4 ，
∵直线AC的解析式为y=x-1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为9 4 × 2 2 =9 2 8 ，
又∵AC= 32+(4−1)2 =3 2 ，
∴△ACE的最大面积=1 2 ×3 2 ×9 2 8 =27 8 ，此时E点坐标为（5 2 ，-3 4 ）．

Answer 2

Answer 3

把点A和点C的坐标带入解析式得
a+b+3=0
16a+4b+3=3
a=1 b=-4
所以解析式为x2-4x+3=0