Question

已知函数f(x)=x的三次方-ax平方+bx+c的图像为曲线e

已知函数f(x)=x的三次方-ax平方+bx+c的图像为曲线e
用户名：知道网友 |分类：高中数学 |浏览1次1 分钟前
（1）若曲线e上存在点p，使曲线e在p点处的切线与x轴平行，求a b 关系
（2）)说明函数fx可以在x=-1 和x=3取得极值 求a b
（3）在满足（2）的条件下f（x）在x属于[-2,6]时恒成立求c的取值范围

Answer 1

解：（1）f'（x）=3x2-2ax+b，设切点为P（x0，y0），
则曲线y=f（x）在点P的切线的斜率k=f'（x0）=3x02-2ax0+b
由题意知f'（x0）=3x02-2ax0+b=0有解，
∴△=4a2-12b≥0，即a2≥3b．
（2）若函数f（x）可以在x=-1和x=3处取得极值，
则f'（x）=3x2-2ax+b有两个解x=-1和x=3，且满足a2≥3b，
利用韦达定理得a=3，b=-9．
（3）由（2）得f（x）=x3-3x2-9x+c根据题意，c＞x3-3x2-9x（x∈[-2，6]）恒成立，
令函数g（x）=x3-3x2-9x（x∈[-2，6]），由g′（x）=3x2-6x-9，令g′（x）=0得出x=-1或3，
当x∈[-2，-1）时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[-2，-1）上单调递增，
当x∈（-1，3）时，g′（x）＜0，g（x）在x∈（-1，3）上单调递减，
当x∈（3，6），g′（x）＞0，g（x）在x∈（3，6）上单调递增，
因此，g（x）在x=-1时有极大值5，且g（6）=54，g（-2）=-2．
∴函数g（x）=x3-3x2-9x（x∈[-2，6]）的最大值为54，所以c＞54．

Answer 2

那么那么那么