Question

函数f(x)=1+alnx(a＞0) (1)当x＞0时，求证:f(x)-1≥a(1-1/x)

Answer 1

解： f(x)=1+alnx()，当x＞0
f(x)-1≥a(1-1/x)化为：
1+alnx≥1+a(1-1/x)
alnx≥a(1-1/x)
∵a＞0，所以最后可以转化为：
lnx≥1-1/x。
所以要证明当x＞0时，求证:f(x)-1≥a(1-1/x)，
只需证明当x＞0时，lnx≥1-1/x。

证明：令f(x)=lnx+1/x-1
求导：f'(x)=1/x-1/x^2=(x-1)/x^2
当x>=1时，f'(x)>=0,f(x)是增函数，
当x<1时，f'(x)<0，f(x)是减函数
即x>=1时，f(x)>>= f(1)=ln1+1-1=0，lnx+1/x-1>=0
此时，lnx>=1-1/x.
当0<x<=1时，f(x)>=f(1)=0，lnx+1/x-1>=0
此时lnx>1-1/x，
所以当x>0时,不等式lnx>=1-1/x。
即原命题得证，当x＞0时，求证:f(x)-1≥a(1-1/x)。