Question

数学压轴题

各项均为正数的数列{an}中，设Sn=a1+a2+...+an，Tn=1/a1+1/a2+...+1/an，且（2-Sn）（1+Tn）=2，n∈N（1）设bn=2-Sn，证明数列{bn}是等比数列；
（2）设Cn=1/2 nan，求集合{（m，k，r）|Cm+Cr=2Ck，m<k<r,m,k,r∈N}

Answer 1

为方便书写，设（2-Sn）为 x，设（1+Tn） 为 2/x，设an+1 为 y
易得x，y > 0
则n+1的情况为
(x - y)(2/x + 1/y)=2

整理，得 x^2 - xy - 2y^2 = 0
又x、y > 0 所以 x/y＝2
所以1) 2-Sn＝2an+1 //n+1是下标
所以2) 2 = 2an+1 + Sn = an+1 + Sn+1 //n+1是下标
所以3) 2= an +Sn
所以4) 2-Sn = an
结合1) 和 4) 得：an / an+1 = 2

而易得a1 ＝ 1
所以得an ＝ (1/2)^(n-1)
所以2-Sn ＝ 2an+1 //n+1是下标
所以2-Sn = (1/2)^(n-2)
得证

第二题题意不清，如果Cn＝n/(2^n)
则易得，为空集

追问

第二问Cn=0.5*n*an