Question

怎么理解一阶线性微分方程？希望能详细解释每一个定义。

怎么理解一阶线性微分方程？希望能详细解释每一个定义。比如 一阶 是什么定义特别希望能解释一下线性 的定义还有一届线性微分方程中 除了齐次方程 非齐次方程 和伯努利方程之外还有什么方程？谢谢各位高手了

Answer 1

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。

一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。

线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的指数为1。

线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。

来源及发展

微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

Answer 2

首先要明白微分方程中的阶的意义：一个微分方程中含有的导数或微分的最高阶数，就叫做这个微分方程的阶。如y"+xy=ysinx就是二阶微分方程了。一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程。数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算。而在微分方程中，自变量对未知函数y而言相当于常数，微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数。而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式。最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程,其中p(x)，q(x)可以是自变量的任意函数。q(x)恒为零，则式子为一阶线性齐次方程，否则为一阶线性非齐次方程。因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类，一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程。至于伯努利方程，实际上是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它可以化成一阶线性方程.要转化之后才是一阶线性方程，因此你提问中的说法也是不对的，不是“一阶线性微分方程中，除了……和伯努利方程之外”，因为伯努利方程不在一阶线性方程中。
至于其他更详细的分类或者说其他形式的分类当然也有，如可分离变量的一阶线性微分方程等，不过一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了，过多分类已经没有什么必要，在此也就不一一枚举了。