Question

抛物线Y=ax^2+bx+c与x轴两交点A,B的横坐标分别是-1，3，（点A在点B 的左侧），

与y轴交于点C,抛物线的顶点M在直线y=3x-7上，P 为线段BMh 一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q,，若点P在线段BM上运动（点P不与点B,M重合）设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为s 求s与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围

Answer 1

（1）由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时，y=3x-7=-4，因此抛物线的顶点M的坐标为（1，-4）．
当x=4时，y=3x-7=5，因此直线y=3x-7与抛物线的另一交点为（4，5）．
设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，
则有：a（4-1）2-4=5，a=1．
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．
（2）根据（1）的抛物线可知：A（-1，0）B（3，0）C（0，-3）；
易知直线BM的解析式为y=2x-6；
当x=t时，y=2t-6；
因此PQ=6-2t；
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=12×（3+6-2t）×t+12×3
即：S四边形PQAC=-t2+92t+32（1＜t＜3）．
（3）假设存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上，不妨设N点坐标为（m，2m-6），
则CM2=12+12=2，CN2=m2+[3-（6-2m）]2，或CN2=m2+[（6-2m）-3]2．
MN2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
△NMC为等腰三角形，有以下三种可能：
①若CN=CM，则m2+[（6-2m）-3]2=2，
∴m1=75，m2=1（舍去）．
∴N（75，-165）．
②若MC=MN，则（m-1）2+[4-（6-2m）]2=12+12．
∴m=1±105．
∵1＜m＜3，
∴m=1-105舍去．
∴N（1+105，2105-4）．
③若NC=NM，则m2+[3-（6-2m）]2=（m-1）2+[4-（6-2m）]2．
解得m=2．
∴N（2，-2）．
故假设成立．
综上所述，存在这样的点N，使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为：
N175，165），N2（1+105，2105-4），N3（2，-2）