Question

若函数f(x)=a 的X次幂(a>1)的定义域和值域均为[m,n],则a的取值范围是多少?

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Answer 1

解：∵函数y=a^x ,(a＞1)在x∈R上是单调递增的。∵函数f(x)=a^x,(a>1)的定义域和值域均为[m,n],∴ 当x=m时，y=m； 当x=n时，y=n。∴(用数形结合的方法）函数y=a^x与直线y=x 有两个不同的交点。换言之，函数y=a^x ,(a＞1)在x∈[m,n]上(被直线y=x切下的部分弧线)必有一点的切线与y=x 平行。∴ y'=㏑a * a^x=1.∴a^x=1/㏑a.∵a^x＞1, -------(画图观察之。)∴0＜㏑a＜1.∴1＜a＜e.∴ a的取值范围是：1＜a＜e.(完毕)