Question

已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h。“若点P在一边

BC上，（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h。”请直接应用上述信息解决下列问题。当点P在ABC内（如图2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

解：（1）当点P在△ABC内时，结论h1+h2+h3=h仍然成立．
理由如下：过点P作BC的平行线，交AB于G，交AC于H，交AM于N，则可得结论h1+h2=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2+h3=AN+MN=AM=h，
即h1+h2+h3=h．

（2）当点P在△ABC外时，结论h1+h2+h3=h不成立．此时，它们的关系是h1+h2-h3=h．
理由如下：过点P作BC的平行线，与AB、AC、AM分别相交于G、H、N，则可得结论h1+h2=AN．
∵四边形MNPF是矩形，
∴PF=MN，即h3=MN．
∴h1+h2-h3=AN-MN=AM=h，
即h1+h2-h3=h．

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Answer 2

BC上，（如图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h。”请直接应用上述信息解决下列问题。当点P在ABC内（如图2）点P在△ABC外（如图3）这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，h1、h2、h3与h之间的关系如何？