二重积分怎么计算？
二重罩纤积改清分的计核闷前算方法
图为信息科技（深圳）有限公司
2021-01-25 广告
化为二次积分。
∫∫(x+y)dxdy＝∫(0～1)dx∫(1～2) (x+y)dy＝∫(0～1) (x＋3/2)dx ＝1/2＋3/2＝2
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以尘散李推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。
扩展资料：
几何意义
在空间直角派迟坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取掘腔正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分,其中，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积
参考资料来源：百度百科-二重积分
把二重积分化成毁悄族二次积分，也就是把其中一个变量当成常量比如Y，然后只对一个变量积分，得到一个只含Y的被积函数，再对Y积分就行了。你可以找一本高等数学书看看纤弊。
你这个题目积分区域中，x、y并不成函数关系，要是积分区域是由比如说1<=x<=2,y=f(x),y=g(x),所围成的话，那么就要先对y积分其中上下限就是f(x)、g(x)，要看谁的运唤图形在上谁就是上限，这时候的x就当做一个常数来看待。
扩展资料：
在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示，函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。
二重函数数值意义：
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
参考资料来源：百度百科-二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分 的计算问题。
讨论中,我们假定 ；
假定积分区域可用不等式 表示,
其中, 在上连续。
据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
从而有
(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分。
这个先对, 后对的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的。
例如:计算
解:
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,在上连续,则
(2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法 -- 几何法。
画出积分区域的图形(假设的图形如下 )
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。
【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。
类似地,
【例2】计算, 其中是由抛物线及直线所围成的区域。
【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。
解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在面上的投影区域
消去变量得一垂直于面的柱面 ,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算
而
由,的对称性有
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分汪斗
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点为中心的一族同心圆 以及从极点出发的一族射线 ,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算谈顷
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。
(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有
于是
即
由于也常记作, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
(1)
(1)式称之为二重积分由直困侍磨角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数, 在上连续。
则
【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式( 即极点在积分区域的边界上 )。
故
【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域的内部 ),可剖分成与,而
故
则
由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域用极坐标变量表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。
【例4】将下列区域用极坐标变量表示
1、
2、
3、
Ê先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化范围；
Ë再过内任一点作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围。
注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
利用此题结果可求出著名概率积分 。
而被积函数满足 ,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有
,
,
于是不等式可改写成下述形式
故当时有 ,
即 。
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 )。
【例6】计算
解此积分区域为
区域的简图为
该区域在极坐标下的表示形式为
