Question

有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，

有一个四位数恰好是个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，比个位数字少2，这个四位数是 解 设所求的四位数为m2，它的百位数字为a，则有 m2=1000(a+1)+100a+10(a+2)+(a+3)=1111a+1023=11(101a+93) 因为11是质数，所以11∣(101a+93)，而101a+93=11(9a+8)+(2a+5)， 所以11∣(2a+5)，由题意 a+3≤9，故a≤6，从而a=3 于是所求的四位数为4356

我的问题是 为什么11是质数，就可以判定11是(101a+93)的约数，根据什么定律判定。

Answer 1

因为11(101a+93) 是一个完全平方数，也就是它是两个相同的因数的积，在这里，因为 11是质因数，所以 (101a+93) 至少等于 11，也可以是11的倍数。

m×m = 11(101a+93)

设 m=kn（k ≥1，是整数，n 是m×m 的质因数），那么 m×m = k²n×n

这里，n=11，所以 (101a+93) = k²n，也就是11是(101a+93)的约数。

乘法的计算法则：

数位对齐，从右边起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，得数的末尾就和第二个因数的哪一位对齐。

两个数的个位相同，十位的两数则是相补的。

（1）将两个数的首位相乘再加上未位数。

（2）两个数的尾数相乘（不满十，十位添作0）。口诀：头乘头加尾，尾乘尾。

Answer 2

完全平方数中的质因数必定是成对出现，如：6*6=2*3*2*3、12*12=3*4*3*4、15*15=3*5*3*5中的2、3、5等都是成对出现。
所以，从一个完全平方数中分离出一个质数，对应的另一个因数中必然还有一个质因数。

Answer 3

因为要求的这个数是完全平方数，也就是两个相同的数的乘积。
所以它分解成质数的乘积的时候必然会发现这些质数要两两成对，
所以必然是还有一个11的因子

追问

11∣(2a+5)，为什么变成了 a+3≤9，故a≤6，从而a=3 ， a+3≤9是从哪儿思考来的呢

追答

a+3是个位上的数字啊，那只能是0-9之间的

Answer 4

因为 11(101a+93) 是一个完全平方数，也就是它是两个相同的因数的积，在这里，因为 11是质因数，所以 (101a+93) 至少等于 11，也可以是11的倍数。
m×m = 11(101a+93)
设 m=kn（k ≥1，是整数，n 是m×m 的质因数），那么 m×m = k²n×n
这里，n=11，所以 (101a+93) = k²n，也就是11是(101a+93)的约数。

Answer 5

1000a+100(a-1)+10(a+1)+(a+2)
=1111a-100+10+2
=1111a-88
=11*(101a-8)
则 101a-8是11的倍数
11*(101a-8)
=11*（99a+2a-8)
2a-8是11的倍数
a=4
11*(101a-8)
=11*(404-8)
=11*396=11*11*6*6
=4356