Question

如何用matlab求gauss-legendre积分公式中的xk与ak(n=5)编程

Answer 1

一、数值积分基本公式

数值求积基本通用公式如下
Eqn1.gif (1.63 KB)

2009-11-20 23:23

xk：求积节点
Ak：求积系数，与f(x)无关

数值积分要做的就是确定上式中的节点xk和系数Ak。可以证明当求积系数Ak全为正时，上述数值积分计算过程是稳定。

二、插值型数值积分公式

对f(x)给定的n+1个节点进行Lagrange多项式插值，故
Eqn2.gif (2.95 KB)

2009-11-20 23:23
即求积系数为
Eqn3.gif (3.29 KB)

2009-11-20 23:23

三、牛顿-柯特斯数值积分公式

当求积节点在[a,b]等间距分布时，插值型积分公式（先使用Lagrange对节点进行多项式插值，再计算求积系数，最后求积分值）称为Newton-Cotes积分公式。

由于Newton-Cotes积分是通过Lagrange多项式插值变化而来的，我们都知道高次多项式插值会出现Runge振荡现象，因此会导致高阶Newton-Cotes公式不稳定。

Newton-Cotes积分公式的求积系数为
Eqn4.gif (3.38 KB)

2009-11-20 23:28
其中C(k,n)称为柯特斯系数。

(1)当n=1时，Newton-Cotes公式即为梯形公式
Eqn5.gif (1.68 KB)

2009-11-20 23:28
容易证明上式具有一次代数精度(对于Newton-Cotes积分公式，n为奇数时有n次迭代精度，n为偶数时具有n+1次精度，精度越高积分越精确，同时计算量也越大)

(2)当n=2时，Newton-Cotes公式即为辛普森(Simpson)公式或者抛物线公式
Eqn6.gif (2.04 KB)

2009-11-20 23:28
上式具有3次迭代精度

(3)当n=4时，Newton-Cotes公式称为科特斯(Cotes)公式
Eqn7.gif (2.68 KB)

2009-11-20 23:28
上式具有5次迭代精度。由于n=3和n=2时具有相同的迭代精度，但是n=2时计算量小，故n=3的Newton-Cotes积分公式用的很少

(4)当≥8时，通过计算可以知道，在n=8时柯特斯系数出现负值

由于数值积分稳定的条件是求积系数Ak必须为正，所以n>=8以上高阶Newton-Cotes公式，我们不能保证积分的稳定性(其根本原因是，Newton-Cotes公式是由Lagrange插值多项推导出来的，而高阶多项式会出现Rung现象)。

四、复化求解公式

n阶Newton-Cotes公式只能有n+1个积分节点，但是高阶Newton-Cotes公式由不稳定。为了提高大区间的数值积分精度，我们采用了分段积分的方法，即先将原区间划分成若干小区间，然后对每一个小区间使用Newton-Cotes积分公式，这就是复化Newton-Cotes求积公式。

(1)当n=1时，称为复化梯形公式。将[a,b]等分为n份，子区间长度为h=(b-a)/n，则复化梯形公式为

(注意：复化求解公式不需要求积子区间等间距，只是Newton-Cotes公式分段积分时自动对小区间进行等分，我们这里采用等分子区间是为了便于计算而已)
Eqn8.gif (2.18 KB)

2009-11-20 23:28

(2)当n=2时，称为复化辛普森公式。
Eqn9.gif (2.96 KB)

2009-11-20 23:28

五、Newton-Cotes数值积分公式Matlab代码