Question

已知函数fx=log2(1-x),gx=log2(x+1),设Fx=fx-gx

1，判断函数Fx的奇偶性
2，证明函数Fx是减函数

Answer 1

F(x)=f(x)-g(x)
=log2 (1-x)-log2 (x+1)
F(-x)=log2 (1+x) -log2 (-x+1)
=-[log2 (1-x)-log2 (x+1)]
=-F(x)
∴它是奇函数

设-1<x1<x2<1
F(x1)-F(x2)
=log2 (1-x1)/(1+x1) -log2 (1-x2)/(1+x2)
=log2 (1-x1)(1+x2)/(1+x1)(1-x2)

∵(1-x1)(1+x2)=1+(x2-x1)-x1x2>1-(x2-x1)-x1x2=(1+x1)(1-x2)
∴(1-x1)(1+x2)/(1+x1)(1-x2) >1
∴F(x1)-F(x2)>log2 1=0

∴F(x1)>F(x2)
∴F(x)是减函数

Answer 2

1、1-x>0,x+1>0
-1<x<1
F(x)=f(x)-g(x)=log2(1-x)-log2(x+1)=log2[(1-x)/(x+1)]
F(-x)=log[(1+x)/(1-x)]=-log2[(1-x)/(x+1)]=-F(x)
因此，F(x)是奇函数。

2、任取-1<x1<x2<1
F(x2)-F(x1)
=log2[(1-x2)/(x2+1)]-log2[(1-x1)/(x1+1)]
=log2[(1-x2)(x1+1)/(1-x1)(x2+1)]
=log2[(1-x1x2+x1-x2)/(1-x1x2-x1+x2)]
∵-1<x1<x2<1
∴0<1-x1x2+x1-x2<1-x1x2-x1+x2
0<(1-x1x2+x1-x2)/(1-x1x2-x1+x2)<1
log2[(1-x1x2+x1-x2)/(1-x1x2-x1+x2)]<0
F(x2)<F(x1)
因此，F(x)在定义域内单调递减。