Question

高数 二重积分的计算

题目：∫∫ x√y dxdy 其中D是由两条抛物线 y=√x ，y=x^2所围成的闭区域。。D可以用不等式表达，想问x的区域 和 y的区域怎么得? 例如这道题 x^2<= y <=√x，0<= x <=1 这是怎么看的？ x和y的区域能替换么？

Answer 1

描述是这样
X型 ：穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点
Y型： 穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点
具体来讲就是 先对y积分再对x积就是X型。这时y=y(x)
Y型就是反过来 x=x(y)

追问

这我知道，我想知道当判断完X，Y型后积分时的区间，例如上面那道题判断完类型后对y的积分区间为x^2<= y <=√x，对x的积分区间为0<= x <=1，这是怎么得的？ 能否调换x，y？

追答

可以调换x，y 但上下限变了
你可以画图 比如先y后x 就是x型 y=y（x） 看对x型的描述平行于y轴的直线（例如：x=1） x为自变量就是0到1 因为画出图像后的交点横坐标分别为0和1 然后是y 自下而上看 相交区域下边界为下限即y=x^2 上边界为上限即y=√x

若调换x，y 就是 0≤y≤1 y^2≤x≤√y（自左向右，y为自变量）
不知道这么说可否理解？

Answer 2