Question

如图，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，点B的坐标为(10,10),以点C为圆心，CB为半径画弧⌒OB

1)以OA为直径的半圆M与弧⌒OB交于点G,连接CG.①判断CG与⊙M的位置关系，并证明你的结论;②求G的坐标；

(2)设E(a,b)是弧⌒OB上一动点，且a、b是方程x2-8x+k=0的两根，求k的值；

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Answer 1

（1）CG与⊙M的位置关系是相切。
弧⌒OB所在圆解析式为x²+（y-10）²=10²，化简为x²+y²-20y=0 ①
半圆M所在圆的解析式为（x-5）²+y²=5²，化简为x²-10x+y²=0 ②
由①和②联立方程组
①-②得
x=2y，
代入①，
y²-4y=0
求出两个解，分别是x=0，y=0和x=8，y=4
G点坐标为（8，4）

CG=√[8²+(10-4)²]=10
CG=CO=10，圆外一点到圆的两个切点连线长度相等，反之亦然，CG与⊙M的位置关系是相切。

（2）
x2-8x+k=0，由方程根与系数关系，得到
a+b=8，ab=k。
当a=4+√（16-k），b=4-√（16-k），
点E坐标代入弧⌒OB对应圆的方程x²+y²-20y=0 ，
[4+√（16-k）]²+[4-√（16-k）]²-20[4-√（16-k）]=0
16+16-k+16+16-k-80+20√（16-k）=0
10√（16-k）=8+k
两边平方
100（16-k）=64+k²+16k
1600-100k=64+k²+16k
k²+116k-1536=0
解方程，即可求k（根据k≥-8取舍一下k值）
或者a=4-√（16-k），b=4+√（16-k），
代入方程，解方程并求出k。

Answer 2

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