Question

已知fx是定义在零到正无穷大上的增函数，且满足fxy=fx+fy,f2=1 求证f8=3 求不等式

已知fx是定义在零到正无穷大上的增函数，且满足fxy=fx+fy,f2=1
求证f8=3
求不等式fx-f（x-2）大于3 的解集

Answer 1

在f(xy)=f(x)+f(y)中，
令x=y=2，得
f(4)=f(2)+f(2)=2
再令x=4，y=2，得
f(8)=f(4)+f(2)=2+1=3
于是，不等式f(x)-f(x-2)>3可化为
f(x)>f(8)+f(x-2)
即f(x)>f[8(x-2)]
又f(x)在（0，+无穷）上的增函数，
从而
0<8(x-2)<x，
解得 2<x<16/7
即解集为(2，16/7)

Answer 2

f(xy)=f(x)+f(y) 把x=y=1带入，有 f(1)=f(1)+f(1) f(1)=0
把x=2,y=1带入有f(2)=f(2)+f(1)=1， f(2)=1.
把x=2; y=2带入有f(4)=f(2)+f(2)=2；
把x=2,y=4带入f(8)=f(4)+f(2)=2+1=3.证明完毕
第二个不等式希望重新确定一下，是减号吗？

追问

嗯嗯

谢了

追答

f(x)-f(x-2)>3可化为
f(x)>f(8)+f(x-2)
即f(x)>f[8(x-2)]
又f(x)在（0，+无穷）上的增函数，
从而
0<8(x-2)<x，
解得 2<x<16/7
即解集为(2，16/7)