Question

如图 抛物线y=ax2-1/3x+2与x轴交于点A和点B 与y轴交于点C 已知点B的坐标为(3,0)

1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC，在x轴下方的抛物线上求一点M，使三角形AMC与三角形ABC面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|，探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在N的坐标和最大值；若不存在，请简单说明理由。

Answer 1

y(3) = 9a - 1 + 2 = 9a + 1 = 0, a = -1/9

y = -1/9 x^2 - 1/3 x + 2 = -1/9 (x+3/2)^2 + 9/4

顶点（-3/2，9/4）

设N(-3/2,d), AN = 根号（(6-3/2)^2 + d^2) , CN = 根号（(2-d)^2 + 9/4)

当d = 3时，

|AN-CN| = 根号（13)最大

Answer 2

抛物线y=ax^2-x/3+2过点(3,0),
∴0=9a+1,a=-1/9,
抛物线y=(-1/9)x^2-x/3+2=(-1/9)(x+3/2)^2+9/4,其顶点为(-3/2,9/4).
B(3,0),A(-6,0),C(0,2),AC:y=x/3+2,
在x轴下方的抛物线上一点M，使三角形AMC与三角形ABC面积相等,
BM∥AC,BM:y=x/3-1,
与y=(-1/9)x^2-x/3+2联立，解得
x1=3,x2=-9,
∴M(-9，-4).
3)C关于对称轴x=-3/2的对称点为C'(-3,2),
d=|AN-CN|=|AN-C'N|<=AC'=√13，当A,C',N三点共线时取等号，
AC':y=2x/3+4,
令x=-3/2,得y=3,
∴N(-3/2，3).