Question

设f(x),g(x)都是（-∞，+∞）上的可导函数，且f'(x)=g(x),g'(x)=f(x),f(0)=1,g(0)=0.证：f^2(x)-g^2(x)=1

x∈（-∞，+∞）

Answer 1

证明：
f'(x)=g(x)，g'(x)=f(x)
设h(x)=f²(x)-g²(x)
求导：
h'(x)=2f(x)f'(x)-2g(x)g'(x)
=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)
=0
所以：
h(x)=f²(x)-g²(x)=C为常数函数
x=0时代入得：
h(0)=f²(0)-g²(0)=C
f(0)=1和g(0)=0代入得：
C=1²-0²=1
所以：h(x)=f²(x)-g²(x)=1
所以：f²(x)-g²(x)=1

Answer 2

f^2(x) - g^2(x) 的导数是 2f(x)f'(x) - 2g(x)g'(x) = 2f(x)g(x) - 2g(x)f(x) = 0
所以 f^2(x) - g^2(x) 是常数，又 f^2(0) - g^2(0) = 1
所以 f^2(x) - g^2(x) = 1