Question

求极限的方法及其例子？

Answer 1

极限思想应用五例唐永 利用极限思想处理某些数学问题往往能化难为易。 引例 两人坐在方桌旁，相继轮流往桌面上平放一枚同样大小的硬币。当最后桌面上只剩下一个位置时，谁放下最后一枚，谁就算胜了。设两人都是高手，是先放者胜还是后放者胜？（G·波利亚称“由来已久的难题”） G·波利亚的精巧解法是“一猜二证”： 猜想（把问题极端化） 如果桌面小到只能放下一枚硬币，那么先放者必胜。 证明（利用对称性） 由于方桌有对称中心，先放者可将第一枚硬币占据桌面中心，以后每次都将硬币放在对方所放硬币关于桌面中心对称的位置，先放者必胜。 从波利亚的精巧解法中，我们可以看到，他是利用极限的思想考察问题的极端状态，探索出解题方向或转化途径。极限思想是一种重要的数学思想，灵活地借助极限思想，可以避免复杂运算，探索解题新思路，现举五例说明极限思想的应用。 例1 已知0<x<y<a<1，则有（ ） （A） （B） （C） （D） （02年高考）分析 当 时，由题意 ，此时 ，故可排除（A）、（B），当 时，由题意 ，此时 ，则 ，排除（C），故选（D） 例2 给出下列图象 其中可能为函数 的图象是 。分析 这道模拟试题得分率很低，许多学生做这道题时感到无从下手，通过与部分学生访谈知道，大部分学生都是猜想结果，虽然有一些学生想到求函数的导数 ，但仍然不知如何处理。其实，这道题若从极限角度考虑，问题便迎刃而解。当 时， 时图象是上升的，排除④，再令a=b=c=0，y’>0不是恒成立的，排除②，选①③。 例3 已知数列中，a1=1，且对于任意正整数n，总有 ，是否存在实数a，b，能使得 对于任意正整数n恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。 分析 极限思想： 如果这样的 ，b存在的话，则 由 ， 对 两边取极限，得 ， 解得 若 0，则数列应该是以1为首项，以 为公比的等比数列。 可知 ， 显然， ，不合题意舍去； 若 ，将 代入 ，可求得b=-3， 此时 ， 同样验证 亦可得出矛盾。因此，满足题意的实数 ，b不存在。 例4 正三棱锥相邻两侧面所成的角为 ，则 的取值范围是（ ） 分析 如图1所示，正三棱锥S-ABC中， 是过底面正三角形ABC中心且垂直于底面的垂线段。当 时，相邻两个侧面的夹角趋近于 ，当 时，正三棱锥无限接近一个正三棱柱，显然相邻两个侧面的夹角无限接近 ，故正三棱锥相邻两个侧面所成角的取值范围为（ ），故选（D）。 例5 已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一个质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设点P4的坐标为（x4，0），若1<x4<2，则 的取值范围是（ ） 分析 如图2，显然当P1为BC中点时，则P2、P3和P4依次是CD、DA和AB的中点，故 是一个极限值，选（C）。

Answer 2

直接求极限法，等价无穷小替代法，洛比达法则求极限法，有时还可以用泰勒公式进行转化求极限法！具体方法根据具体问题而决定！