Question

急！！！一道关于数列的数学题

在数列{an}中，a1=1,a(n+1)=2an+2^n
(1)设bn=an/[2^(n-1)],证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和sn

Answer 1

(1)由a(n+1)=2an+2^n得a(n+1)-2an=2^n
b(n+1)=a(n+1)/[2^n]，故b(n+1)-bn=a(n+1)/[2^n]-an/[2^(n-1)]
b(n+1)-bn=[a(n+1)-2an]/2^n=2^n/2^n=1，故{bn}为等差数列
（2）b1=a1/[2^(1-1)]=a1=1
故{bn}是以1为首项，公差为1的等差数列
易知bn=n,故an=n*2^(n-1)
Sn=1+2*2+3*2^2+4*2^3……+n*2^(n-1)该式子两边同时乘以2，
2Sn=2+2*2^2+3*2^3+4*2^2+5*2^3……+n*2^n
将下面一式减去上面一式，注意是将下面一式的第m项减去上面一式的第m+1项，
如下面一式的第1项减上面一式的第2项，以此类推，可以得到
2Sn-Sn=-(1+2+4+……+2^(n-1))+n*2^n
括号内为等比数列
最终可求得 Sn=n*2^n-2^n+1 (n>1)

Answer 2

答案已传至附件