Question

设函数f(x)=a/3x^3+bx+cx(a,b,c∈R,a≠0）， 1 、若函数f（x）为奇函数

设函数f(x)=a/3x^3+bx+cx(a,b,c∈R,a≠0），
1 、若函数f（x）为奇函数，求b都值
2、若不等式axf’x《=f（x）+1对于一切X属于R恒成立，求a+b+c取值范围

Answer 1

1)f(x)为奇函数，则偶次项系数为0，即b=0
2)f'(x)=ax^2+2bx+c
ax(ax^2+2bx+c)<=a/3x^3+bx^2+cx+1, 恒成立
即(a^2-a/3)x^3+b(2a-1)x^2+c(a-1)x-1<=0恒成立
令g(x)=a(a-1/3)x^3+b(2a-1)x^2+c(a-1)x-1
因为三次函数及一次函数都不可能恒小于0
所以g(x)只能为2次函数或常函数。
为常函数时，因a≠0,所以只能为a=1/3, b=0,c=0, 此时a+b+c=1/3
为二次函数时，则三次项系数为0，得a=1/3, 此时g(x)=b(-1/3)x^2+c(-2/3)x-1=-1/3[bx^2+2cx+3]
要使其恒<=0,则有b>0,且△<=0,
即4c^2-12b<=0
得b>=c^2/3
a+b+c>=1/3+c^2/3+c=1/3[c^2+3c+1]=1/3*(c+3/2)^2-5/12>=-5/12
因此a+b+c的取值范围是：[-5/12,+ ∞)

Answer 2

tfhgk;lkhfhjuyikuyyffffffffffffffffffffffffffffffffffffyyyyyyyyyyyyrt3wrtu657789igytu6fry6gdoplokjhgfdsfgyuul