Question

计算∫dx/[1+(1-x^2)^1/2]？

∫dx/[1+(1-x^2)^1/2] （解题时设x=sint）

求结果的时候（t=arcsinx）有一项是tan（t/2）需要把t带进去求最后的值！但是tan（t/2）我算的结果是(1+（1-x^2)^0.5)/x 和
(1-（1-x^2)^0.5)/x，而答案只取了后者，为什么？是我算错了？

Answer 1

设 x = sint, -PI/2 <= t <= PI/2. t = arcsinx

dx = costdt,

∫dx/[1+(1-x^2)^1/2]

= ∫costdt/[1+cost]

= ∫dt - ∫dt/[1+cost]

= t - ∫dt/{2[cos(t/2)]^2}

= t - ∫[sec(t/2)]^2dt/2

= t - tan(t/2) + C

= arcsinx - tan[(arcsinx)/2] + C

这样不就作完了吗？

一定要算tan[(arcsinx)/2]吗？

tan[(arcsinx)/2] = sin[(arcsinx)/2]/cos[(arcsinx)/2]

= 2{sin[(arcsinx)/2]}^2/{2cos[(arcsinx)/2]sin[(arcsinx)/2]}

= [1 - cos(arcsinx)]/sin(arcsinx)

= [1 - cos(arcsinx)]/x

-PI/2 <= arcsinx <= PI/2,

0 <= cos(arcsinx) = {1 - [sin(arcsinx)]^2}^(1/2)

= [1 - x^2]^(1/2)

所以，
tan[(arcsinx)/2] = [1 - cos(arcsinx)]/x

= [1 - (1 - x^2)^(1/2)]/x

你是不是还考虑了cos(arcsinx)为负的情况。。多虑了。
所以，在不定积分的变量代换时，最好限制一下代换变量的变化范围。