Question

就这个题目，希望能看到不一样的回答

网上的答案都是你抄我，我抄你，讲的不清楚，也没创意，在这里希望能看见不一样，比较详尽一点的回答
F(n)=1 n>8 n<12
F(n)=2 n<2
F(n)=3 n=6
F(n)=4 n=other
使用+ - * /和sign(n)函数组合出F(n)函数
sign(n)=0 n=0
sign(n)=-1 n<0
sign(n)=1 n>0

Answer 1

分段函数,用符号函数来组合得到,这个很容易得出来
是否有创意及新颖,咱不清楚.

在<积分变换>一门课程中,里面将所有的分段函数当作一般的函数来处理（包括积分求导等等）。但需要对分段函数作个预处理，就是都写成sg(.)的形式。

一个简单的分段函数，无论分成多少段，都可以写一个个最简单的分段函数的和。比如你的题目中的F(n)就可以写成六个最简单的分段函数的和：
每个最简单的分段函数，是指定义域中函数值不为零的部分是连通的，没分隔成几段，而函数值可以用一个解析表达式表出。所以，在分解中，F4(n)又要分成三个最简单的分段函数的和。

F(n)=F1(n)+F2(n)+F3(n)+F4(n)=F1+F2+F3+F41+F42+F43

其中，
F1(n)=1,8<n<12时。F1(n)=0,其它n
F2(n)=2,n<2时。F2(n)=0，其它n
F3(n)=3,n=6时。F3(n)=0,else
F4(n)=4,2<=n<6或者7<=n<=8或者n>11.F4(n)=0,其它n
F41(n)=...,F42(n)=.................

所以，如果能够会把一个简单的分段函数用sg(.)表示了，那么，将不同段上的函数直接相加，就把整个分段函数用sg(.)表示出来了。

下面来看最简单的分段函数如何用符号函数sg(.)表示出来：
这就要求你对sg(.)的图形性质有清晰的理解。
一：sg(x)的取值，就是x的符号。
sg(x)的取值，正半轴为1，负半轴为-1,sg(0)=0.
二：k>0时，x与kx符号相同，所以sg(x)=sg(kx)
三：sg(x-8.5）的图像，是以8.5为分界点，左边取-1,右边取1
四：sg(x-11.5)的图像，是以11.5为分界点，左边取-1,右边取1.
五：比较sg(x-8.5)与sg(x-11.5）的图像的差别，
sg(x-11.5)-sg(x-8.5)的取值，左右两边的都抵消了，只剩下8.5~11.5的范围内取值为2.再除以2,就得到我们想要的了。非整数点的取值不必考虑。
所以，F1(n)=[sg(n-11.5)-sg(n-8.5)]/2

这是有限区间段上的。
再看F2(n)半个无穷区间段上的情况：
很明显的，F2(n)=-sg(n-1.5)+1.对函数的左右上下对称熟悉了，直接就写出来行了。如果想写得再好看一点，就是这样：F2(n)=sg(1.5-n)+1

F3(n)与F1(n)相似，
F3(n)=3*[sg(x-3.5)-sg(x-2.5)]/2
F41,F42,...类似写出来就行了。

学数学一定要多思考，少看参考答案。将过程重新写一遍，你就能掌握这种方法了。
或许你早会这种方法了吧，这可能就是最简单的方法了。

如果通过别的方法得到了结果，一定是相同的结果，你用sg(x)的性质进行简化，会得到相同的表达式。