Question

三角形ABC内接于圆O,AB=AC,∠BAC平分线交圆O于点P,自P点作PD⊥AB,垂足为D。

,求证：AB-AC=2BD
三角形ABC内接于圆O,AB=BC,∠BAC平分线交圆O于点P,自P点作PD⊥AB,垂足为D。

Answer 1

证明：

题目条件AB=AC应该是AB>AC吧？否则证明结论AB-AC=2BC=0了....

连接BP和CP，在AB上截取AE=AC

因为：AP是∠BAC的平分线

所以：∠BAP=∠CAP

所以：BP=CP（圆周角相等，所对弦长相等）

因为：

AE=AC

AP=AP

∠EAP=∠CAP

所以：△APE≌△APC（边角边）

所以：EP=CP

所以：EP=CP=BP

因为：PD⊥AB

所以：PD是等腰△BPE的底边BE上中垂线

所以：BD=DE

所以：BE=2BD=AB-AE=AB-AC

所以：AB-AC=2BD

追问

应该是AB=BC。
谢谢你！

追答

我最快回答，详细规范！！

有图有真相，但白干活！

Answer 2

条件中AB=AC应为AB>AC，对吗？
证明：过P作PE⊥AC交AC延长线于E，
∵PA平分∠BAC，PD⊥AB，
∴∠PAB=∠PAC，∠PDA=∠E，
又PA=PA，
∴ΔPAD≌ΔPAE，
∴PD=PE，PD=PE，
连接PB、PC，
∵∠PAB=∠PAC，
∴弧PB=弧PC，∴PB=PC，
∴ΔPBD≌ΔPCE(HL)，
∴BD=CE，
∴AB-BD=AC+BD
即AB-AC=2BD。

Answer 3

检查一下题目吧，应该是求证或者条件有些问题。AB=AC不太对吧？

追问

应该是AB=BC。
谢谢你！

追答

检查一下题目吧，应该是求证或者条件有些问题。AB=AC不太对吧？
不过证明结论不需要这个条件。AB>AC即可
在AD上去点E，使得DE=BD，显然三角形PDB全等于三角形PDE，所以PB=PE
因为AP是角平分线，所以角PAC=角PAB
于是PB=PC，所以PE=PC
由于AB>AC
所以三角形ACP是钝角三角形，三角形AEP也是钝角三角形。
利用钝角三角形的SSA定理可以证明三角形AEP全等于三角形ACP。

Answer 4

你给的题意有问题，题目中AB =AC而要求AB-AC=2AD,

追问

应该是AB=BC。
谢谢你！

追答

过点P做AC的延长线于点F
只要证明△BDP全等△PCF就可以得到AB-AC=2BD
AP为角平分线所以△ADP全等△APF, BP=PC
全等所以DP=PF
加上一个直角
条件就全了