Question

已知函数f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2,x属于［-1,1］,求f(x)的最小值

Answer 1

令t=2^x ∴f(x)=(2^x-a)^2+(2^-x+a)^2=(t-a)^2+(t+a)^2 =t^2+t^(-2）+2a(1/t-t)+2a^2 令m=1/t-t ∵t^2+t^(-2）=(1/t-t)^2-2 ∴f(x)=m^2+2+2am+2a^2 =(m+a)^2+a^2+2 ∵x∈[-1,1] ∴t∈[1/2,2] ∴m∈[-3/2,3/2] 当a<-3/2时 f(x)min=(3/2+a)^2+a^2+2 当a>3/2时 f(x)min=(-3/2+a)^2+a^2+2 当a∈[-3/2,3/2]时 f(x)min=a^2+2