Question

设函数f（x）,对任意的实数x,y,有f（x＋y）=f（x）＋f（y）,且当x＞0时，f(x)＜0

设函数f（x）,对任意的实数x,y,有f（x＋y）=f（x）＋f（y）,且当x＞0时，f(x)＜0,则f(x)在区间[a,b]上
的最大值和最小值为多少？

Answer 1

解由f(x+y)=f(x)+f(y)
取x=y=0
即得f(0+0)=2f(0)
即2f（0）-f（0）=0
即f（0）=0
又由f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)=0
所以f(-x)=-f(x),即f(x)为奇函数
设x1>x2,则:x1-x2>0
故f(x1)-f(x2)
=f(x1)+f(-x2)
=f（x1-x2）
又由当x＞0时，f(x)＜0
故由x1-x2>0
知f(x1-x2)＜0
即f(x1)-f(x2)＜0
所以f(x)为递减函数
故f(x)在区间[a,b]上
的最大值f(a)和最小值为f(b)

Answer 2

设x=y=0 f(0)=2f(0) f(0)=0
设y=-x f(0)=f(x)+f(-x) -f(x)=f(-x) f(x)是奇函数
设x2>x1 x2-x1>0 f(x2-x1)<0
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0 是减函数
所以最大值是f(a),最小值是f(b)

Answer 3

f（x＋y）=f（x）＋f（y）
f（x＋y）-f（x）=f（y）
f(b)-f(a)=f(b-a)
b-a>0故：f(b-a)<0
f(b)<f(a)
故最大值为f(a)
最小值为f(b)

望采纳！！O(∩_∩)O谢谢