Question

定义在R上的函数满足f（x+3）=-f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．

定义在R上的函数f（x）满足f（x+3）=-f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）^2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2013）=（　　）
我画出图了f（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2
可按正确的T=6的话f(3)=f(-3) =-1
但代入f（x+3）=-f（x） ，f(3)=-f(0)=0啊
突然糊涂了~求解释

Answer 1

答：
f(x+3)=-f(x)
f(x+6)=-f(x+3)=f(x)
f(x)的周期为6

-3<=x<-1时，f(x)=-(x+2)^2，开口向下，对称轴x=-2
-1<=x<3时，f(x)=x
所以：
f(1)=1，f(2)=2，f(3)=f(3-6)=f(-3)=-(-3+2)^2=-1
f(4)=f(4-6)=f(-2)=-(-2+2)^2=0
f(5)=f(-1)=-1
f(6)=f(0)=0
所以：f(1)+f(2)+...+f(6)=1+2-1+0-1+0=1
2013/6=335余3
所以：
f(1)+f(2)+....+f(2013)
=335+f(2011)+f(2012)+f(2013)
=335+f(1)+f(2)+f(3)
=335+1+2-1
=337
所以：f(1)+f(2)+....+f(2013)=337

Answer 2

解：∵f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f（x），
即函数f（x）是周期为6的周期函数．
当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x．
∴f（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，
∴f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）=-1+0-1+0+1+2=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）+f（2012）+f（2013）
=335×[f（-3）+f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）]+f（2011）+f（2012）+f（2013）
=335+f（1）+f（2）+f（3）=335+1+2-1=337，

Answer 3

我在想一个问题：

你的题目，是不是错了？

当-1≤x＜3时，f（x）=x，

这个条件不符合f（x+3）=-f（x）

可能要修改成：当-1≤x＜0时，f（x）=x，

追问

嗯嗯~谢谢~

Answer 4

这是出题者的疏忽
因为出题者想要利用周期性T=6，
然后对f（x+6）=f（x）进行变形
所以给定f（x+3）=-f（x）

但出题者在编写分段函数时，忽略了f（x+3）=-f（x），使得这个条件不成立。

你的眼光很敏锐，知道解题思想就好，不必在乎这道题的对错。

追问

嗯嗯~谢谢~

追答

不客气，记得采纳哦~~